Konvergenz von Reihen bestimmen

Question

Welche der folgenden Reihen konvergieren bzw. konvergieren absolut?

1) ∑(von n=1 bis ∞) (1/√n)

2) ∑(von n=1 bis ∞) (1/(n^2-3))

3) ∑(von n=1 bis ∞) (n/(n^2+1))

Bei der ersten Aufgabe habe ich es mit dem Quotientenkriterium versucht und 2 als Ergebnis raus, was ja heißen würde, dass die Reihe divergiert. Stimmt das ? Kommt mir bei der Aufgabenstellung seltsam vor.

Die zweite und dritte Aufgabe sehen für mich sehr stark nach dem Majorantenkriterium aus, was ich leider nicht verstanden habe. Stimmt meine Vermutung? Kann mir das bitte jemand erklären.

Comments

1) 1/n ist ja eine divergente Minorante. ==> 1) divergiert.

absolut kann nicht mal bei 2) einen Unterschied machen, da auch dort ab n=2 alle Summanden positiv sind.

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Und wie kommst du bei der ersten auf eine divergente Minorante? Habe das Thema bisher noch nicht verstanden.

Absolute Konvergenz heißt doch nur, dass ich die Reihen umordnen kann, oder?

Wie würde ich denn bei 2 und 3 konkret weiterkommen?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Majorantenkriterium#Beispiel

https://de.wikipedia.org/wiki/Absolute_Konvergenz

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Okay, danke für die Links. Werde es mal damit versuchen.

Answer 1

sind wohl grade am selben Übungsblatt dran ;).

Ich konnte mich bei 1) auf ein Beispiel in der Vorlesung verlassen 5.5 war das glaube ich.

Da steht dass 1/n= divergent ist da 1/wurzel von n GRÖßER als 1/n ist muss jeder Wert auch größer sein heist wenn 1/n gegen unendlich läuft dann läuft auch jede Reihe  gegen unendlich die größer als 1/n ist... bei 2 und 3 habe ich das quotientenkriterium angewendet. Wenn ich etwas unverständlich geschrieben habe tut mir das leid...bin nicht so der beste im erklären ;)

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Danke für deine Tipps. Willst du damit sagen, dass 1 divergiert? Mit Quotientenkriterium bei den anderen beiden sollte ich schaffen. Hast du zufällig schon einen Ansatz für die letzten 3 Reihen bei dieser Aufgabe? Die habe ich nämlich auch noch nicht. Konvergenz ist bisher nicht so meins, werde ich aber wohl verstehen müssen bis spätestens zur Klausur. Kannst du mir vielleicht den Unterschied zwischen Konvergenz und absoluter Konvergenz erklären?

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Divergent heist ja dass die Reihe gegen unendlich läuft das heist jede Reihe die größer ist muss auch divergent sein ->1) ist divergent. Absolute Konvergenz heist einfach nur dass sich durch setzen von Betragsstrichen nichts verändert(glaube ich).Also es kann sich vielleicht verändern aber es muss immernoch konvergent sein da bin ich mir nicht sicher.Mithilfe des Quotientenkriteriums kannst du ja direkt absolute Konvergenz beweisen.Nach Satz 5.10 aus dem Skript kann man auch schliessen dass jede absolut Konvergente Reihe auch normal konvergent sein muss.