Differenzierbarkeit zeigen für f(x) = sin(x)/x

Question

Wie kann ich zeigen, dass

\( f(x)=\left\{\begin{array}{cc}{\frac{\sin (x)}{x}} & {\text { für } x \neq 0} \\ {1} & {\text { für } x=0}\end{array}\right. \)

auf ganz ℝ differenzierbar ist?

Wenn ich den die obere mit dem Differentialquotient versuche, komme ich auf

$$ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \frac { sin(x+h) }{ x+h } -\frac { sin(x) }{ x }  }{ h }  } $$

und wenn ich das auflöse, komme ich auf

$$ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { x\cdot sin(x+h)-sin(x)\cdot (x+h) }{ (x+h)\cdot x\cdot h }  } $$

Hier weiss ich nicht mehr, was ich machen muss...

und wie funktioniert das für die untere Teilfunktion?

Answer 1

f ( x ) = sin ( x ) / x
Die einzige Einschränkung wäre die Division durch 0.
D = ℝ \ { 0 }
Deshalb wurde die Funktion ja auch geteilt.
Für x = 0  gilt f ( 0 ) = 1

Zur Differenzierbarkeit ( Quotientenregel )

f ´( x ) = ( cos(x) * x - sin ( x ) * 1 ) / x^2
f ´( x ) = ( cos(x) * x - sin ( x )  / x^2

Die einzige Einschränkung wäre wieder die Divison durch 0
und dafür dafür gilt f ´ ( 0 ) = 1 ´ = 0

Jetzt muß für f ´ gezeigt werden
linksseitiger Grenzwert = Funktionswert ( 0 ) = rechtseitiger Grenzwert
linksseitig :
lim x -> 0-  [ ( cos(x) * x - sin ( x )  / x^2 ] = [ 1 * 0 - 0 ] = 0
rechtsseitig dasselbe.

Damit wurde gezeigt
linksseitiger Grenzwert = Funktionswert ( 0 ) = rechtseitiger Grenzwert

Die Funktion ist differenzierbar.

Comments

Lieber  hh598
Wenn du das als Lösung einreichst, könnte man eventuell auf die Idee kommen, die sei einem Grog und zwei Runden Korn entsprungen

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Standardtext auf Hinweise zu Fehlern oder vermeintlchen
Fehlern meinerseits.
Bitte direkt den genauen Grund und Fehlerzeile angeben.
Eventuell auch die notwendige Berichtigung  oder die
Gegenrechnung anführen. Ansonsten erfolgt keine
Reaktion.

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"und dafür dafür gilt f ´ ( 0 ) = 1 ´ = 0"

Diese Zeile stimmt nicht. Um die Ableitung an der Stelle 0 zu bestimmen, darfst du nicht einfach den Funktionswert 1 ableiten und dann sagen, die Ableitung wäre 0. Sonst könnte ich ja auch sagen: Der Funktionswert an der Stelle \(\pi\) ist \(f(\pi)=0\), also \(f'(\pi)=0'=0\).

Du musst den Differentialquotienten benutzen: \(f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\) und dann diesen Grenzwert berechnen. Da kommt dann 0 raus.

Das, was du danach machst, ist gar nicht nötig. Die Stetigkeit der Ableitung brauchst du doch gar nicht zeigen. Es reicht, zu zeigen, dass die Ableitung existiert; und das hast du ja schon gemacht (bis auf die Stelle 0).

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Ich bin jetzt etwas verwirrt, kannst du mir die Ansätze direkt mit meiner Funktion zeigen, da ich weiss wie ich nun die Differenzierbarkeit ausrechnen kann bzw. wie ich den Differentialkoeffizient mit diesen beiden Teilfunktionen benuztzen soll?

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Zitat: "...da ich weiss, wie ich nun die Differenzierbarkeit ausrechnen kann bzw. wie ich den Differentialkoeffizient mit diesen beiden Teilfunktionen benuztzen soll?"

Hä?

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vor dem "weiss" sollte ein nicht stehen, tippfehler :)

Was ich wissen will ist, wie ich die beiden Teilfunktionen in den Differentialkoeffizienten einsetzen soll, falls ich es beim ersten Eintrag ganz oben falsche gemacht habe

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ich versuche mich einmal.
Du willst die Differenzierbarkeit über ganz ℝ nachweisen.

Ich bin bei dir vom Stand " wenn ich das auflöse ausgegangen "

z ist der Zähler des deines Bruchs
n ist der Nenner des deines Bruchs.
Geht lim h -> 0  erhalte ich 0 / x^2.
Dies ist für alles außer x = 0 definiert.
Also für ganz ℝ \ { 0 }
0 / 0 ist ein Fall für l ´Hospital

Nachdem l´Hospital angewendet wurde erhalte ich 0 / 2x.
Nach dem 2 Mal : 0 / 2
Damit auch das Ergebnis 0.
Die Funktion f ( x ) = sin (x) / x ist auch an der Stelle
x = 0 differenzierbar und f ´( 0 ) = 0.

Soweit meine Einschätzung.

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@10001000Nick1
Schönen Dank für deine Ausführungen.

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@Georg: Man kann den Limes des Differenzenquotienten nicht mit der Regel von l'Hospital ausrechnen, da der ja die erst noch zu zeigende Differenzierbarkeit bereits voraussetzt!

Man muss also anders vorgehen. Der Einstieg wäre:
$$ f'(0) = \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(0+h) -f(0)}{  h }  } \\\,\\  f'(0)= \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \frac { \sin(0+h) }{ 0+h } -1}{  h }  } $$

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Geht lim h -> 0  erhalte ich 0 / x².

Damit gehörst du einer Minderheit an.

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Man kann den Limes des Differenzenquotienten nicht mit der Regel von l'Hospital ausrechnen

Doch, das kann man.

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Korrektur:

In der 2. Zeile muß es bei mir anstelle
n = ( x + h ) * x + h
heißen
n = ( x + h ) * x * h

Das Ganze stimmt also nicht.

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Zwischenbilanz :
f ( x ) = sin ( x ) / x
1.Ableitung
f ´( x ) = ( cos(x) * x - sin ( x ) * 1 ) / x²
ist vorhanden außer x  = 0.

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Irgendwie stecke ich mit

f´( 0 ) = [ f ( x ) - f ( 0 ) ] / [ x - 0 ]
bzw
f´( 0 ) = [  (sin ( x ) / x) - 1 ] / [ x - 0 ]
für lim x -> 0

in einer Endlosschleife und komme nicht weiter.
Wer kann helfen ?

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Erweitere den Bruch mit x und wende l'Hospital an

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Du kannst auch die Taylorreihe des Sinus benutzen.

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Die letzten beiden Kommentare konnten mich
nicht weiterbringen.
Bitte einmal VORFÜHREN ohne Taylorreihe
( kann ich nämlich nicht ).

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Mit dem Hinweis von Gast hj218:

\(\lim_{x\to 0}\frac{\frac{\sin(x)}{x}-1}{x}\stackrel{\text{mit x erweitern}}{=}\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)-x}{x^2}\stackrel{\text{L'Hospital}}{=}\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{2x} \) \(\stackrel{\text{L'Hospital}}{=}\lim_{x\to 0}\frac{-\sin(x)}{2}=0\)

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Taylorreihe ist hier das Stichwort (oder gar Zauberwort?).

Es ist nie zu spät, sich mit Taylorreihen zu beschäftigen:  https://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe .

Die Potenzreihendarstellung des Sinus ( https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Motivation_durch_Taylorreihen ) macht sofort klar, warum \( \frac{sin(x_0)}{x_0} = 1 \) an der Stelle \( x_0 = 0 \) ist.

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Erstens stimmt das nicht und zweitens hat man davon noch nicht allzuviel

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Wieso stimmt das nicht?

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Weil \(\frac{\sin(x_0)}{x_0}\) an der Stelle \(x_0=0\) nicht definiert ist. Besser wäre, wenn man sagt: Der Grenzwert von \(\frac{\sin(x_0)}{x_0}\) für \(x_0\to 0\) ist 1.

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Das kommt darauf an, was man unter definiert versteht. Die Potenzreihe als algebraisches Objekt lässt sich der Frage nach Definiertheit vorweggenommen durch \( x \) teilen.

Es stellt sich heraus, dass die resultierende Potenzreihe \( \frac{sin(x)}{x} \) überall definiert ist.

Dies ist gleichbedeutend mit der Hebbarkeit der Definitionslücke bei \( x = 0 \) im analytischen Sinne ( https://de.wikipedia.org/wiki/Isolierte_Singularit%C3%A4t#Beispiele ).

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Einverstanden

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Aso kann ich als Beweis für die Differenzierbarkeit die Umformung von 10001000Nick1 

mit der Erweiterung mit x und dem l'Hospital angeben?

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Meine Antwort

f ( x ) = sin ( x ) / x
1.Ableitung
f ´( x ) = ( cos(x) * x - sin ( x ) * 1 ) / x²
ist vorhanden außer für x  = 0.

und
10001000nick1s Umformungen für x = 0
Mit dem Hinweis von Gast....
dürfte der komplette Beweis erbracht sein.

@10001000nick1. Besten Dank.