limes der Reihe abschätzen: sum(1/n^2) ≤ 7/4

Question

Es gilt zu beweisen: $$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } }  } \le \frac { 7 }{ 4 }$$ Durch den Hinweis: $$\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } <\frac { 1 }{ n*(n-1) }$$ (für n>1)   weiß ich zwar, dass die Reihe kleiner als 2 sein muss, allerdings komme ich da nicht weiter! LG


Aus Duplikat:

Ich soll beweisen, dass folgende Reihe konvergiert:

5/4≤∑(von n=1 bis ∞) (1/n²)≤7/4

Als Hinweis steht da noch

1/n²<(1/(n(n-1)))-(1/(n-1))-(1/n) für n≥2.

Answer 1

1/(n(n-1))

= (n-(n-1))/(n(n-1))

= (n)/(n(n-1))  - ((n-1))/(n(n-1)) 

= 1/(n-1) - 1/n

Da kommst du dann auf eine sogenannte Teleskopsumme. https://www.mathelounge.de/tag/teleskopsumme

Comments

Genau damit hat er wahrscheinlich die Schranke 2 ermittelt.

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Aha. Danke. Dann könnte man die ersten paar Summanden vielleicht genau nehmen. So lange bist man unter 7/4 kommt.

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richtig.Zwei reichen

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Könntet ihr das etwas genauer erläutern.  Ich verstehe leider nicht was nun zu tun ist.

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Problem aus der Summe ergibt sich 1  Da  1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4 Alles nach 1/2+1/2 ist 0 dadurch gilt nicht mehr  Summe 1/n^2 < summe 1/n-1 - 1/n