Parallelogramm Flächeninhalt

Question

Die Punkte \( \mathrm{D}_{n}\left(x \mid x^{2}+4\right) \) liegen auf der Parabel \( p \) mit \( y=x^{2}+4 \). Sie bilden zusammen mit den Punkten \( \mathrm{A}(-1] 0) \) und \( \mathrm{C}\left(6[3)\right. \) Parallelogramme \( \mathrm{AB}_{u} \mathrm{CD}_{\mathrm{t}} \)

a) Zeichne die Parabel \( \mathrm{p} \) und die Parallelogramme für \( x=-1 \) und \( x=2 \) in ein Koordinatensystem.

b) Berechne für \( x=2 \) den Flächeninhalt \( \mathrm{A} \) des Parallelogramms.

c) Bestimme den Flächeninhalt \( A \) (x) der Parallelogramme in Abhãngjgkeit von \( x \).

[ Ergebnis: \( A(x)=\left(7 x^{2}-3 x+28\right) F E \) ]

d) Für welchen Wert von \( x \) erhält man das flächenkleinste Parallelogramm \( \mathrm{AB}_{0} \mathrm{CD} _{0}\) ? Zeichne es ein.

Answer 1

Eine sehr einfache und leichte Möglichkeit geht über einen Weg der Oberstufe mit dem Kreuzprodukt zweier Richtungsvektoren

AC = C - A = [6, 3] - [-1, 0] = [7, 3]

AD = D - A = [x, x^2 + 4] - [-1, 0] = [x + 1, x^2 + 4]

AC x AD = [7, 3] x [x + 1, x^2 + 4] = 7·(x^2 + 4) - 3·(x + 1) = 7·x^2 - 3·x + 25

Jetzt darfst du die Formel für b) benutzen und brauchst nur x = 2 einsetzen

A = 7·2^2 - 3·2 + 25 = 47 FE