Beweisen Sie formal, dass M = N . M: Menge der ganzen Zahlen der Form 2k-5 mit k Element Z

Question

Ich habe das Modul diskrete Strukturen. Wir haben einen Übungszettel bekommen, auf diesen mehrerer solche Aufgaben wie die unten steht. Ich weiß nicht mal wie ich anfangen soll, obwohl ich in den Vorlesungen war und gelernt habe. 

Sei M die Menge der ganzen Zahlen der Form 2 k - 5 mit k Element von Z und sei N die Menge der

ganzen Zahlen der Form 2 k + 1 mit k Element von Z. Beweisen Sie formal, dass M = N .

Comments

M und N sind beides einfach alle ungeraden ganzen Zahlen.

Ist dir das so weit klar? 

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Ja schon. M und N sind ja Elemente von Z. Kann das Z nicht so doppelt darstellen, wie es sein sollte. Ich weiß nicht wie ich das beweisen soll.

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Zeige, dass  M ⊆ N  und  N ⊆ M  gilt.

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ja wie denn? ich hab keine ahnung wie man sowas aufschreibt. wir haben alles nur theoretisch gemacht

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Ich kann bestätigen, das im Modul alles nur theoretisch bisher behandelt wurde

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Ich habe die gleiche Aufgabe und komme auch nicht weiter :(

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Sitze vor der gleichen Aufgabe und finde es schade, dass auf diesen Matheseiten immer nur ganz geheimnistuerisch der Weg zum Ziel gezeigt wird. Wenn man den ganzen Schlonz nur theoretisch lernt, ist es wesentlich schwieriger als mit einem konkreten Beispiel.

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Dies ist eine sehr einfach Aufgabe.

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Misters Einschätzung interessiert den Fragenden nicht.

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Sie ist auch nicht an den Fragenden gerichtet :)

Answer 1

Sei M die Menge der ganzen Zahlen der Form 2 k - 5 mit k Element von Z und sei N die Menge der

ganzen Zahlen der Form 2 n + 1 mit n Element von Z. Beweisen Sie formal, dass M = N .

Sie m∈M. Somit gilt m = 2k-5 mit k Element Z. 

Nun lässt sich m auch in der Form m=2n + 1 schreiben, denn

m= 2k - 5 = 2(k -3 + 3) - 5 = 2(k-3) + 6-5 = 2(k-3) + 1 = 2n + 1 mit k-3 = n.

Somit folgt m∈N. Also M ⊆ N.

Nun dasselbe nicht umgekehrt

Sie m∈N. Somit gilt m = 2n+1 mit k Element Z. 

Nun lässt sich m auch in der Form m=2k -5 schreiben, denn

m= 2n + 1 = 2n + 1 + 5 - 5 = 2n + 6 - 5 = 2(n+3) - 5, mit n+3 Element Z.

Somit folgt m∈M. Also N ⊆ M.

( N ⊆ M. und M ⊆ N ) ==> M = N q.e.d.

Answer 2

Solche Aufgaben ohne ihren Lehrkontext zu bearbeiten, ist bisweilen gar nicht so einfach möglich, da nicht klar ist, welche Mittel zur Verfügung stehen. Schau also ins Skript oder ins Buch und suche nach irgendwelchen Hilfsmitteln (Definitionen, Sätze, Verfahren, Beispiele) die hier nützlich sein könnten.

Ein eher kurzer Beweis sähe so aus:

Die Mengen M und N enthalten jeweils genau die ungeraden ganzen Zahlen, denn es gilt

2k - 5 ≡ 2k + 1 ≡ 1 mod 2.