Funktion schreiben als Produkt

Question

Wie kann ich die Funktion x³ -2x² -5x+6 = 0

schnell umformen in (x-1)*(x² -x-6)= 0

Gibt es da einen Trick?

Answer 1

Du musst erst mal versuchen eine Lösung der Gleichung
x³ -2x² -5x+6 = 0 zu raten.  Hier siehst du schnell für x=1 stimmt es.
Dann kann man durch  (x-1) dividieren um den 2. Faktor zu berechnen.
Das nennt sich Polynomdivision und geht etwa so

(x³ -2x² -5x+6 )  :  (x - 1 ) =   x^2   dann x^2 mal   (x - 1 )

unter den vorderen Term schreiben, das gibt

(x³ -2x² -5x+6 )  :  (x - 1 ) =   x^2

x^3 - x^2                               Das vom oberen abziehen .

-------------                            Bedenke -2x^2 - (-x^2) = -x^2

-x^2     - 5x + 6

Jetzt im Ergebnsi den nächsten Teil:

(x³ -2x² -5x+6 )  :  (x - 1 ) =   x^2  - x

x^3 - x^2                              

-------------                        

-x^2     - 5x  +  6
       - x^2       +x
     -----------------------
                   -6x    +  6
Jetzt brauchst du im Ergebnsi eine - 6, damit der letzte
Term unter dem Strich weg geht:

(x³ -2x² -5x+6 )  :  (x - 1 ) =   x^2  - x  - 6

x^3 - x^2                              

-------------                        

-x^2     - 5x  +  6
       - x^2       +x
     -----------------------
                   -6x    +  6
                   - 6x   +  6
                 ---------------
                              0
Also ist der 2. Faktor     x^2 - x  -6
                    

   

Comments

Wie kommst du von x=1 auf (x-1) ?

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Ich spring mal für mathef ein:

(x-1) kommt daher, weil Du ja deine erste Nullstele geraten hast. Das heißt, wenn Du x=1 für x in die Gleichung einsetzt, kommt am Ende=0 raus. Man kann einfach 1 oder 2 oder -1 oder -2 einfach so mal einsetzen und schauen, ob am Ende die Gleichung Null wird.

Und dann schreibt man einfach (x-1) oder wenn z.B. deine Nullstelle x=2 wäre, dann so: (x-2).

Answer 2

Hi,

ich würde dir raten es in der Linearfaktordarstellung anzugeben, aber um diese so schreiben zu können, brauchst Du erstmal die Nullstellen der Funktion. Da diese Gleichung keine Biqaudratische oder Quadratische Gleichung ist und Du hier auch nicht Satz vom Nullprodukt anwenden kannst, musst Du die Polynomdivision machen, ist dir Bekannt?!

Rate erstmal eine Nullstelle:

x³ -2x² -5x+6 = 0

x₁=1 

ist deine erste Nullstelle, die du geraten hast, denn wenn Du x=1 für die Gleichung einsetzt, dann kommt am Ende =0 raus. 

Nun führe eine Polynomdivision durch:

(x³ -2x² -5x+6) : (x-1) = x²-x-6
  x³-x^2
______
        -x²-5x
         x²-x
      _____
             -6x+6
              6x-6
             _____
                     0

Also hast Du deine Funktion vom Grad 3 auf Grad 2 reduierzt und kannst nun diese ganz leicht über die pq-Formel lösen, bekannt?

x²-x-6=0 |pq-Formel mit p=-1, q=-6

x_1/2=-(-1)/2±√((-1)/2)²-(-6)

x₂= 3

x₃= -2

Nun kannst Du es in der Linearfaktordarstellung angeben:

f(x)= (x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)

f(x)= (x-1)(x-3)(x+2)