Komplexe Zahlen berechnen: z = 1,2 - 2,5 i (Exponentialform)

Question

Komplexe Zahlen berechnen: z = 1,2 - 2,5 i

Mein Ansatz:

\( |z|=\sqrt{1,2^{2}+2,5^{2}}=2.77 \)

z = 0·cos( \( \frac{1,2}{2,77} \) = 1,12

\( z^{6} = 2,77^{6} e^{i - \frac{1,12 + 6·2 \pi}{6} } \)

\( z^{6} = 454,75 e^{i - 6,72} = 454,75·e^{i - 6,72 + 4 \pi} = 454,75^{i 5,866}\)

Ich weiss nicht, wie ich mit dem negativen Bogenmass -1.12 umgehen soll.

1.) Da die komplexe Zahl im 4. Quardranten liegt, würde ich [ (2Pi - 1.12) + 6 * 2Pi] : 6 rechnen. Komme auf diesen Weg nicht auf richtiges Ergebnis.

2.)  Wo liegt die Zahl - 6.72 im Einheitskreis

Answer 1

Bei dem z hast du doch den Winkel 1,12 ausgerechnet.
Dann hast du doch bei z^6 einfach nur den 6-fachen winkel, also 6,72.
Da sich immer nach 2pi die Stelle auf dem Einheitskreis wiederholt und du
offenbar etwas mehr als 2pi hast, kannst du einfach 2pi von deinem Wert abziehen
und hast dann ungefähr 0,44.  Den rechnest du ins Gradmaß um und trägst ihn ab.

wenn das z im 4. Quadranten liegt, muss ja z^6 nicht auch dort liegen, im Gegenteil
man sieht  z^4 liegt im 1. Quadranten.

Comments

Da im 4 Quardrant 2  Pi - 1,12 = 2.021

Habe ich dich so richtig verstanden....?

 2.021 -> ( 2.021 + 6 * 2 * Pi ) / 6 = 6.62

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Ich finde deine Formeln etwas arg kompliziert.

Für z^6 musst du doch nur den Winkel *6 nehmen, oder?

gibt dann 6,72.

Das wäre dann im Bogenmaß sozusagen

eine ganze Drehung (also 2pi) + etwas.

Das etwas ist 0,44.

Das ist der Winkel, der zu z^6 gehört.

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Leider verstehe ich nicht so ganz was du meinst, mit dieser Formel im Exponenten wird in der Expontentialform der zugehörigen Winkel zu zⁿ berechnet.

1.) Hier erhalte ich ein positives Ergebnis, wie muss ich den mit dem negativen Vorzeichen -2.5i umgehen..?

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kannst du genauso machen.

negativ bedeutet für den winkel nur, dass er nicht

gegen sondern mit dem Uhrzeigersinn abgetragen wird.