Nullstellen. Logarithmen nötig? 6^x = 5^2x

Question

6^x = 5^2x

Brauch ich dafür In ??

Ich könnte doch einfach ein x ausklammern

Ich soll les auf dieselbe Basis bringen und rechnerisch lösen

Answer 1

6^x = 5^2x       | ln(...)

x*ln(6) = 2x*ln(5)

x*ln(6) - 2x*ln(5) = 0

x * ( ln(6) - 2*ln(5) ) = 0

x= o     oder ( ln(6) - 2*ln(5) ) = 0

Also einzige Lösung x=0

Ich soll les auf dieselbe Basis bringen und rechnerisch lösen.

Geht auch:

6^x = 25^x   denn 5^{2x} = (5^2 )^x

6^x / 25^x  = 1

(6/25)^x = 1    also x=0

Answer 2

6^x = 5^2x  | Potenzgesetze

6^x = 25^x  | Exponentialfunktionen kennen.

Bei verschiedener Basis sind die beiden Seiten genau dann gleich, wenn der Exponent 0 ist. 

Comments

Die kürzeste Lösung, Glückwunsch :-)

Answer 3

dafür brauchst du eine Logarithmusfunktion (Basis beliebig aber fest):

\( \log(6^x) = \log(5^{2x}) \),

\( x\log(6) = 2x\log(5) \).

Nun teilst du die Gleichung unter der Annahme \( x \neq 0 \) und erhältst

\( \log(6) = 2\log(5) \),

ein Widerspruch. Daraus folgt, dass \( x = 0 \) die einzige Lösung der Gleichung ist.

Mister

PS: Es ist einfach eine lineare Gleichung in \( x \):

\( x (\log(6) - 2\log(5)) = 0 \).

Wegen \( \log(6) - 2\log(5) \neq 0 \) folgt \( x = 0 \).