wie ist die Verteilung nach zehnmaligem Wechsel?

Question

Die Zahnpastamarken ADent, BDent und CDent beherrschen den Markt. Die Kunden 

wechseln jedoch bei jedem Kauf die Marke, wie die folgende Tabelle angibt.

von    A      B       C

nach

ADent     0%  30%  50%

BDent     60% 0%    50%

CDent    40%  70%   0%

a) Geben Sie die Übergangsmatrix P und eine stabile Verteilung für die Käuferanteile an

b) Anfangs benutzen die Kunden zu je ein Drittel die drei Marken. wie ist die Verteilung nach zehnmaligem Wechsel? Was ändert sich , wenn anfangs alle Kunden die Marke ADent verwenden?

Answer 1

P = [0, 0.3, 0.5; 0.6, 0, 0.5; 0.4, 0.7, 0]

P^∞

a = 65/227 ∧ b = 80/227 ∧ c = 82/227
a = 28.63% ∧ b = 35.24% ∧ c = 36.12%

[0, 0.3, 0.5; 0.6, 0, 0.5; 0.4, 0.7, 0]^10·[1/3; 1/3; 1/3] = [0.2863; 0.3524; 0.3613]

[0, 0.3, 0.5; 0.6, 0, 0.5; 0.4, 0.7, 0]^10·[1; 0; 0] = [0.2851; 0.3526; 0.3623]

Comments

wie berechnet man P^10 und P^{-10} ?

---

P^2 = P * P

P^4 = P^2 * P^2

P^8 = P^4 * P^4

P^10 = P^8 * P^2

Leichter geht's aber mit dem Taschenrechner.

Für P^-1 muss man zunächst die Inverse von P bilden. Dann kann man hier genauso Potenzen bilden.

---

warum setzt man als fixvektor (1/3 ; 1/3 ; 1/3) ein?

---

Benutze: "Anfangs benutzen die Kunden zu je ein Drittel die drei Marken."

Die Stabile Verteilung rechne ich immer über

M * v = v

bzw.

(M - E) * v = 0