Vektorraum - Skalare Multiplikation...knifflig

Question

Gibt es eine ℂ- vektorraumstruktur auf ℝ , s.d. die Skalare Multiplikation ℂxℝ → ℝ eingeschränkt auf ℝxℝ, die übliche Multiplikation reeler Zahlen sind? Begründen sie.

Answer 1

Sei \(\mu:\; \mathbb{C}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) die Multiplikation mit

komplexen Skalaren.

Sei \(\alpha:=\mu(i,1)\in \mathbb{R}\). Dann gilt wegen \(\mu(x,y)=xy\) für alle \(x,y\in\mathbb{R}\):

\(\mu(\alpha,1)=\alpha\), also aufgrund der Distributivität der Skalarmultiplikation

\(0=\alpha-\alpha=\mu(i,1)-\mu(\alpha,1)=\mu(i-\alpha,1)\).

Da \(1\) sicher nicht der Nullvektor ist, folgt \(\alpha=i\)

im Widerspruch zu \(\alpha\in\mathbb{R}\).