Zeigen Sie, dass die Funktion stetig ist: x → 1/x über ℝ ohne 0

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Funktion \( f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \frac{1}{x} \) stetig ist.

Answer 1

Sei \( |x - x_0 | < \delta \) (#)

$$ \left| \frac{1}{x} - \frac{1}{x_0} \right| = \frac{|x_0 -x |}{|x \cdot x_0|} \lt \frac{\delta}{|x \cdot x_0|}$$

jetzt benutzt du (#) und eine gute Abschätzung für \( x \cdot x_0 \) und zeigst die Stetigkeitseigenschaft.

Gruß