Aufgabe:
Zeigen Sie, dass die Funktion f : R\{0}→R,x↦1x f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \frac{1}{x} f : R\{0}→R,x↦x1 stetig ist.
Sei ∣x−x0∣<δ |x - x_0 | < \delta ∣x−x0∣<δ (#)
∣1x−1x0∣=∣x0−x∣∣x⋅x0∣<δ∣x⋅x0∣ \left| \frac{1}{x} - \frac{1}{x_0} \right| = \frac{|x_0 -x |}{|x \cdot x_0|} \lt \frac{\delta}{|x \cdot x_0|}∣∣∣∣∣x1−x01∣∣∣∣∣=∣x⋅x0∣∣x0−x∣<∣x⋅x0∣δ
jetzt benutzt du (#) und eine gute Abschätzung für x⋅x0 x \cdot x_0 x⋅x0 und zeigst die Stetigkeitseigenschaft.
Gruß
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