Was ist obere/untere Schranke? Infimum/Supremum, Maximum/Minimum erklären

Question

ich verstehe leider nicht so ganz, was eine obere/untere Schranke ist. Das heißt doch, dass die Menge nach oben/unten beschränkt ist?! Aber wie kann es denn eine kleinste obere/untere Schranke (Supremum/Infimum) geben? Wenn es beschränkt ist gibt es dann nicht nur eine obere/untere Schranke? Und was ist der Unterschied zwischen Maximum und Supremum bzw. Infimum und Minimum?

Bin irgendwie total verwirrt.  

Danke

Answer 1

obere Schranke: obere Schranke einer Menge (muss nicht in dieser Menge enthalten sein).

Supremum: kleinste obere Schranke einer Menge (muss nicht in dieser Menge enthalten sein).

Maximum: Größtes Element einer Menge.

 

Beispiel:

Das abgeschlossene Intervall [0, 1] hat als Supremum 1, und dies ist auch das Maximum. Eine obere Schranke wäre beispielsweise 5 oder auch 1000

Hingegen das offene Intervall (0, 1) hat zwar ebenfalls 1 als Supremum, aber die 1 ist nicht das Maximum, weil die 1 nicht in diesem offenen Intervall enthalten ist. Obere Schranke ist wieder beliebig solange ≥1.

 

Für untere Schranke/Infinfinum und Minimum gilt natürlich entsprechendes ;).

 

Comments

Also ist die obere Schranke irgendein beliebiges Element, was größer dem Supremum ist? Oder habe ich das jetzt falsch verstanden?

Du hast ja geschrieben, die müssen nicht enthalten sein, aber die können enthalten sein? Also auch die obere Schranke?

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Es muss größer gleich dem Supremum sein, die obere Schranke.

Supremum ist nur ein Spezialname für eine bestimmte obere Schranke mit obigen Eigenschaften ;).

Siehe auch Erklärungen hier: https://www.matheretter.de/wiki/beschranktheit


So ist es, sie können enthalten sein, ganz wie in Beispiel 1.