Welche Teilmengen des Vektorraumes R^3 sind Untervektorräume?

Question

Welche der Teilmengen

U₁ ={(x,y,z) ∣ x<0}

U₂ ={(x,y,z) ∣3xy=z^2}

U₃={(x,y,z) ∣3x + 2y =-z}

U₄={(x,y,z) ∣x ∈ ℚ}

U₅={(t,3t,-t)∣t∈ℝ}

des reellen Standdardvektorraumes ℝ³ sind Untervektorräume?

Meine Ansätze:
Ich weiß dasich die Teilmengen mit den drei Kriterien:
1.)  0∈U
2.)   a,b∈U , so auch a+b ∈ U

3.)  λ ∈ K , a ∈ U so auch λa∈U

Leider weis ich aber nicht genau wie ich da vorgehen muss.Meine "Ideen"

U₁ ist kein UVR weil 0 kein element von U₁

U₂ 1.) 3*0*0=0² also stimmt das

2.) 3xy-z² +3x₁ y₁-z₁² =0 weil 3xy-z² =0 und 3x₁ y₁-z₁²   =0

3.) a*(3xy-z² )=0 da 3xy-z²   =0 und a*0=0

U₃ würde ich genauso wie U₂ machen

U₄  1.) Da x=0 und x ∈ℚ und 0∈U  ist 0∈U₄  Wie ich weiter machen kann, weiß ich noch nicht.

U₅  Ich weiß nicht genqau wie ich die Teilmenge deuten soll

Wie ihr seht hab ich da noch große Schwierigkeiten allein beim Verständnis. Wäre nett wenn ihr mir helfen könntet.

Answer 1

U₁ ist kein UVR weil 0 kein element von U₁

gutes Argument !

U₂ 1.) 3*0*0=0² also stimmt das

2.) 3xy-z² +3x₁ y₁-z₁² =0 weil 3xy-z² =0 und 3x₁ y₁-z₁²   =0

Das stimmt so nicht:  du fängst richtig an:

a aus U2 heißt mit a=(x,y,z) gilt  3xy-z² =0

und b aus U2 heißt mit b=(x1,y1,z1)  gilt 3x1y1-z1² =0

jetzt musst du aber prüfen, ob a+b in U2 ist

a+b =  (  x+x1  ,  y+ y1  ,   z + z1  ) und für diesen Vektor musst du prüfen,

ob die Definition von U2 gilt, das hieße

3 * (x+x1)*(y+y1) - (z+z1)^2 = 0

und wenn du das ausrechnest, hast du 3 * ( xy + x1y + xy1 + x1y1) - (z^2 + 2zz1  z1^2 ) = 0

gibt   3xy-z^2  + 3(x1y+xy1) - 2z*z1  + (3x1y1-z1^2) = 0

und das stimmt nur, wenn + 3(x1y+xy1) - 2z*z1  auch Null ist, das wird aber nicht immer

sein, gib am besten ein Gegenbeispiel an.

Mit diesem Hinweis kannst du sicher auch c) noch überprüfen, ich glaube

dort klapp es.

3.) a*(3xy-z² )=0 da 3xy-z²   =0 und a*0=0

U₃ würde ich genauso wie U₂ machen

U₄  1.) Da x=0 und x ∈ℚ und 0∈U  ist 0∈U₄  Wie ich weiter machen kann, weiß ich noch nicht.

Bedenke, dass bei

3.)  λ ∈ K , a ∈ U so auch λa∈U

Das lambda aus IR ist und  wenn z.B. x=1 und lambda gleich wurzel(2) ist

dann ist das Produkt nicht aus Q.

U₅  Ich weiß nicht genqau wie ich die Teilmenge deuten soll:
Das sind alle Vielfachen von (1;3;-1) mit irgendeinem t aus IR.
Da wirst du sehen, dass die drei Kriterien alle stimmen.

Comments

Erstmal Vielen dank für die schnelle und hilfreiche Antwort! :)

Kann ich bei U₂ fürs Gegenbeispiel einfach beliebige Reelle Zahlen für x,x1,y,y1,z,z1 einsetzen bei dem das ergebnis nicht Null ist?

U₃ würde ich so lösen:

U₃={(x,y,z) ∣3x + 2y =-z}

1.) 0∈U  einfach null einsetzen also 3*0+2*0+0=0

2.)a∈U₃ mit a=(x,y,z) gilt 3x+2y+z=0

b∈U₃  mit b=(x₁,y₁,z₁) gilt 3x₁+2y₁+z₁=0
Prüfen ob a+b in U₃

a+b= (x+x₁,y+y₁,z+z₁) nach Def. Von U₃ ist das:
3*(x+x₁)+2*(y+y₁)+(z+z₁) =0
3x+3x₁+2y+2y₁+z+z₁=0

(3x+2y+z)+(3x₁+2y₁+z₁) =0 weil (3x+2y+z)=0 und (3x₁+2y₁+z₁)=0

3.) a∈U₃ mit a=(x,y,z) gilt 3x+2y+z=0  , λ ∈ K
λ*a = λ*(x,y,z) =(xλ,yλ,zλ) nach Def. von U₃ =
3*(xλ)+2*(yλ)+(zλ)= (3x+2y+z)*λ = 0 da 3x+2y+z=0 und 0*λ=0

U₅ ={(t,3t,-t)∣t∈ℝ}

1.) 0∈U  einfach null einsetzen also (0,3*0,-0) =(0,0,0)

2.) a=(t,3*t,-t)  b=(t₁,3*t₁,-t₁)

a+b= (t+t₁,3*t+3*t₁,-t-t₁) müsste ja eig in U₅ liegen ,weiß aber nicht wie ich das begründen kann.

3.)a∈U₅ mit a=(t,3*t,-t) gilt t∈ℝ , λ ∈ K

λ*a = λ*(t,3*t,-t)=(t λ,3*t λ,-t λ) nach Def von U₅ ..[ Die Definition ist ja nur t∈ℝ, ich verstehe nicht ganz wie man dass dann umschreiben kann.]