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Es sei (X,*) eine kommutative Halbgruppe. Ferner existiere zu x,y aus X ein z mit x*z=y.

Zeige, dass z eindeutig ist.

Kann mir jemand einen Ansatz geben?



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wenn \( z \) existiert, sodass \( xz = y \) für alle \( x, y \in X \), dann insbesondere für \( x = y \). Es gilt dann, dass \( z \) gemäß \( xz=zx=x \) für alle \( x \in X \) existiert.

Nennen wir dieses \( z \) mal vorsichtig \( e \). Es ist also \( xe=ex=x \) für alle \( x \in X \). Sei \( e' \) ein weiteres neutrales Element. Dann gilt \( ee' = e \), es gilt aber auch \( e'e = e' \). Da die Halbgruppe kommutativ ist, gilt \( e = ee' = e'e= e' \). Also gibt es nur ein einziges neutrales Element.

Die Halbgruppe ist also ein Monoid.

Sei nun \( xz = zx = e \) für beliebiges \( x \in X \). Es existiert also zu jedem \( x \in X \) ein Inverses \( x^{-1} \in X \).

Sei \( x'^{-1} \) ein weiteres Inverses von \( x \). Dann gilt \( x^{-1} = x'^{-1} x x^{-1} = x'^{-1} \) und das Inverse ist eindeutig.

Der Monoid ist also eine Gruppe.

Nun folgt, dass \( z \) durch \( z = x^{-1} y = yx^{-1} \) eindeutig bestimmt ist.

Mister

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warum muss x = y gelten?

Liebe Grüße

Die Frage ist irgendwie blöd.

Ich finde die Frage  "Warum ist e'·e = e'  ?"  auch besser

Nein, die ist genauso blöd.

Sie ist nicht blöd, sondern soll dich auf eine Beweislücke in deiner Antwort aufmerksam machen.

Der Benennung einer vermeintlichen Beweislücke würde ich viel eher abkaufen, dass sie darauf abzielt, mich auf sie aufmerksam zu machen.

Du kannst doch nicht eifach die Reihenfolge der Quantoren vertauschen wie es dir gerade passt.

Du musst dich schon präzisieren, welche Quantoren du glaubst vertauscht wahrzunehmen.

Also ganz ausführlich :

1. Der Text des Fragestellers   Ferner existiere zu x,y aus X ein z mit x*z=y   wird von uns beiden so interpretiert, dass es heißt  "Für alle x, y aus X existiert ein z aus X mit  x*z=y ".

2. Dein Satz   Nennen wir dieses z mal vorsichtig e. Es ist also x*e = e*x = x für alle x aus X   muss also sorgältig formuliert so heißen  " Für alle x aus X existiert ein e aus X mit x*e = e*x = x ".

3. Du benutzt den Satz aber in der Form  "Es existiert ein e aus X, so dass für alle x aus X    x*e = e*x = x  gilt ", wenn du behauptest, dass e' * e  =  e'   wäre.

Kurzum : Das z, das du e nennst, ist ein "Privat - e" für x. Dass es sich tatsächlich um ein "Global - e"  für alle Elemente von X handelt, muss erst noch bewiesen werden. Das ist die Lücke von der ich sprach.

Sei \( e_x \in X \) das neutrale Element bezüglich eines gewählten \( x \in X \), sodass also gilt

\( e_x x = x e_x = x \).

Es existiert nun für alle \( y \in X \) ein \( y^{-1} \in X \) und zwar bezüglich des neutralen Elementes \( e_x \) mit

\( yy^{-1} = e_x \).

Es folgt

\( ye_x = e_xy = y \).

Eine Halbgruppe kann nicht mehr als ein neutrales Element haben. Daher ist dieses eindeutig und kann unvorsichtig \( e \) genannt werden. Daraus folgt die Eindeutigkeit des Inversen \( y^{-1} \).

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