wenn \( z \) existiert, sodass \( xz = y \) für alle \( x, y \in X \), dann insbesondere für \( x = y \). Es gilt dann, dass \( z \) gemäß \( xz=zx=x \) für alle \( x \in X \) existiert.
Nennen wir dieses \( z \) mal vorsichtig \( e \). Es ist also \( xe=ex=x \) für alle \( x \in X \). Sei \( e' \) ein weiteres neutrales Element. Dann gilt \( ee' = e \), es gilt aber auch \( e'e = e' \). Da die Halbgruppe kommutativ ist, gilt \( e = ee' = e'e= e' \). Also gibt es nur ein einziges neutrales Element.
Die Halbgruppe ist also ein Monoid.
Sei nun \( xz = zx = e \) für beliebiges \( x \in X \). Es existiert also zu jedem \( x \in X \) ein Inverses \( x^{-1} \in X \).
Sei \( x'^{-1} \) ein weiteres Inverses von \( x \). Dann gilt \( x^{-1} = x'^{-1} x x^{-1} = x'^{-1} \) und das Inverse ist eindeutig.
Der Monoid ist also eine Gruppe.
Nun folgt, dass \( z \) durch \( z = x^{-1} y = yx^{-1} \) eindeutig bestimmt ist.
Mister