Halbgruppe: Vollständig geklammertes Produkt stets dasselbe?

Question

Aufgabe:

Es sei \( (X, \cdot) \) eine Halbgruppe.

(a) Es sei \( \left\{x_{1}, \ldots, x_{n}\right\} \subseteq X, n \in \mathbb{N} \). Ein vollständig geklammertes Produkt von \( \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \) ist von der Form \( x_{1} \) (wenn \( n=1 \) ) oder (wenn \( \left.n \geq 2\right) \) von der Form \( (p q) \), wobei \( r, s \in \mathbb{N} \) existieren mit \( r+s=n \) und \( p \) ein vollständig geklammertes Produkt von \( \left(x_{1}, \ldots, x_{r}\right) \) und \( q \) ein vollständig geklammertes Produkt von \( \left(x_{r+1}, \ldots, x_{n}\right) \) ist.

Zeige: Sind \( p_{1} \) und \( p_{2} \) vollständig geklammerte Produkte von \( \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \), so ist \( p_{1}=p_{2} \).

(b) Zeige: Ist. kommutativ und sind \( x_{1}, \ldots, x_{n} \in X \) und \( \pi \in S_{n} \) (siehe Aufgabe 1), so ist \( \Pi_{i=1}^{n} x_{i}=\Pi_{i=1}^{n} x_{\pi(i)} \)

Ansatz:

Für mich ist es einfach nur trivial, dass p1=p2 wegen der Assoziativität gilt, die aus der Definition der Halbgruppe folgt. Ich denke jedoch, dass diese Aufgabe nich so einfach gelöst werden darf.

Answer 1

Ich glaube, dass du den Kern der Sache schon richtig erkannt hast, vermute aber,
dass hier ein etwas formalerer Beweis (ist ja schließlich auch exakt formal definiert)
gefordert ist. Geht wohl mit Induktion über n.


n=1 ist ja kein Problem

Sei also n aus IN und die Aussage gilt für n.

Seien p1=(x₁,...x_n,x_n+1) und p2=(x₁,...x_n,x_n+1)  vollständig geklammerte Produkte mit n+1 Elementen.

Dann existieren r1 und s1    mit r1+s1=n+1   und   r12und s2    mit r2+s2=n+1
und vollständig geklammerte Produkte
     (x₁,...;x_r1) und (x_r1+1,...,x_n+1)       und entsprechend mit r2 und s2
Dann sind auch
    (x₁,...;x_r1) und (x_r1+1,...,x_n)        und entsprechend mit r2 und s2
vollständig geklammerte Produkte der Länge n und wegen der
Induktionsannahme gleich also p1  =  p2
                
also auch    p1*x_n+1   =  p2* x_n+1    q.e.d.                           

Comments

Darf ich fragen, wieso n+1 Elemente? Ich hab dieselbe Aufgabe zu rechnen (hihi ja, scheint wohl dieselbe Uni zu sein :D), aber ich finde die Aufgabe irgendwie gar nicht so trivial. Vielleicht liegt das aber auch nur an dem mehrzeiligen Erklärungstext..

Theoretisch ist "p ein vollständig geklammertes Produkt von (x1,... xr)". Und "p1 und p2 sollen vollständig geklammerte Produkte von (x1,...xn) sein".

Nun also: warum n+1 Elemente? Und was bringt mir überhaupt dieses r+s=n? Wieso reden die in der Aufgabe von q wenn es doch theoretisch nur um p geht?

Irgendwie finde ich die ganze Aufgabe ziemlich kompliziert, aber das liegt wohl vermutlich einfach daran, dass die Erklärung so lang ist.... Vermutlich wäre die Aufgabe total einfach, mein Gehirn verknotet sich nur leider.

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Bei vollständiger Induktion ist das doch immer so:

Du nimmst an, dass es für n gilt und musst daraus

herleiten, dass es für n+1 gilt.

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Und wie geht es mit der (b) Teil? Weißt das jemand?

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Ich sehe an deinem Beweis noch Dinge, die mir Probleme bereiten.

Warum folgt, dass (x_r1+1,...,x_n) ein vollständig geklammertes Produkt ist?

Und warum ist die Länge r1 des ersten Teils für den Fall (x₁,...,x_n) und den Fall (x₁,...,x_n+1) gleich?

Und warum folgt der letzte Schritt?

Ich hoffe du kannst mir das etwas klarer machen.

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Warum folgt, dass (x_r1+1,...,x_n) ein vollständig geklammertes Produkt ist?

weil  das die Definition war. zu dem (x₁,...x_n,x_n+1) existieren ....

so dass (x₁,...;x_r1) und (x_r1+1,...,x_n+1)  vollst. gekl. Prod. sind.

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Ja, aber du hast das daraus geschlossen, dass (x_r1+1,...,x_n+1) ein vollstädig geklammteres Produkt ist - und das sehe ich jetzt nicht?

Ich will nicht sagen, dass das falsch ist, sondern eher verstehn warum das so ist. :)

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Jetzt werde ich auch nachdenklich. Man bräuchte sowas, dass wenn man aus einem vollständig geklammerten

Produkt eine Variable weglässt, es immer noch eines ist.

Das kriege ich formal auch nicht hin. Tut mir Leid.