kommutative Halbgruppe, z eindeutig.

Question

Es sei (X,*) eine kommutative Halbgruppe. Ferner existiere zu x,y aus X ein z mit x*z=y.

Zeige, dass z eindeutig ist.

Kann mir jemand einen Ansatz geben?

Answer 1

wenn \( z \) existiert, sodass \( xz = y \) für alle \( x, y \in X \), dann insbesondere für \( x = y \). Es gilt dann, dass \( z \) gemäß \( xz=zx=x \) für alle \( x \in X \) existiert.

Nennen wir dieses \( z \) mal vorsichtig \( e \). Es ist also \( xe=ex=x \) für alle \( x \in X \). Sei \( e' \) ein weiteres neutrales Element. Dann gilt \( ee' = e \), es gilt aber auch \( e'e = e' \). Da die Halbgruppe kommutativ ist, gilt \( e = ee' = e'e= e' \). Also gibt es nur ein einziges neutrales Element.

Die Halbgruppe ist also ein Monoid.

Sei nun \( xz = zx = e \) für beliebiges \( x \in X \). Es existiert also zu jedem \( x \in X \) ein Inverses \( x^{-1} \in X \).

Sei \( x'^{-1} \) ein weiteres Inverses von \( x \). Dann gilt \( x^{-1} = x'^{-1} x x^{-1} = x'^{-1} \) und das Inverse ist eindeutig.

Der Monoid ist also eine Gruppe.

Nun folgt, dass \( z \) durch \( z = x^{-1} y = yx^{-1} \) eindeutig bestimmt ist.

Mister

Comments

warum muss x = y gelten?

Liebe Grüße

---

Die Frage ist irgendwie blöd.

---

Ich finde die Frage  "Warum ist e'·e = e'  ?"  auch besser

---

Nein, die ist genauso blöd.

---

Sie ist nicht blöd, sondern soll dich auf eine Beweislücke in deiner Antwort aufmerksam machen.

---

Der Benennung einer vermeintlichen Beweislücke würde ich viel eher abkaufen, dass sie darauf abzielt, mich auf sie aufmerksam zu machen.

---

Du kannst doch nicht eifach die Reihenfolge der Quantoren vertauschen wie es dir gerade passt.

---

Du musst dich schon präzisieren, welche Quantoren du glaubst vertauscht wahrzunehmen.

---

Also ganz ausführlich :

1. Der Text des Fragestellers   Ferner existiere zu x,y aus X ein z mit x*z=y   wird von uns beiden so interpretiert, dass es heißt  "Für alle x, y aus X existiert ein z aus X mit  x*z=y ".

2. Dein Satz   Nennen wir dieses z mal vorsichtig e. Es ist also x*e = e*x = x für alle x aus X   muss also sorgältig formuliert so heißen  " Für alle x aus X existiert ein e aus X mit x*e = e*x = x ".

3. Du benutzt den Satz aber in der Form  "Es existiert ein e aus X, so dass für alle x aus X    x*e = e*x = x  gilt ", wenn du behauptest, dass e' * e  =  e'   wäre.

Kurzum : Das z, das du e nennst, ist ein "Privat - e" für x. Dass es sich tatsächlich um ein "Global - e"  für alle Elemente von X handelt, muss erst noch bewiesen werden. Das ist die Lücke von der ich sprach.

---

Sei \( e_x \in X \) das neutrale Element bezüglich eines gewählten \( x \in X \), sodass also gilt

\( e_x x = x e_x = x \).

Es existiert nun für alle \( y \in X \) ein \( y^{-1} \in X \) und zwar bezüglich des neutralen Elementes \( e_x \) mit

\( yy^{-1} = e_x \).

Es folgt

\( ye_x = e_xy = y \).

Eine Halbgruppe kann nicht mehr als ein neutrales Element haben. Daher ist dieses eindeutig und kann unvorsichtig \( e \) genannt werden. Daraus folgt die Eindeutigkeit des Inversen \( y^{-1} \).