Question

Welche Mengen sind Untervektorräume?

\( 1 .\left\{\left(\begin{array}{c}\mu+\lambda \\ \lambda^{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid \mu, \lambda \in \mathbb{R}\right\} \subseteq \mathbb{R}^{2} \)

2. \( \left\{\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid x_{1} \geq x_{3}\right\} \subseteq \mathbb{R}^{3} \)

Comments

Schau mal bei Wikipedia

https://de.wikipedia.org/wiki/Untervektorraum#Definition

und wende die Definitionen auf deine gegebenen Mengen an. Sind sie alle erfüllt?

Answer 1

zu 1)  sind v1 = (a,b) und  v2= (c;d) Elemente von M
dann müsste    (a,b) + (c;d)    (a+c ; b+d )    auch ein Element von M sein
da b und c beide >0 0 sind (wegen lambda^2) ist auch die Summe >= also
kann man die wurzel aus (b+d) ziehen und hat schon mal das lambda.
und für my wählt man einfach a+c-lambda  und sieht:    auch die Summe ist in M.

ABER es müsste auch zu jedem v1 (siehe oben) das Inverse also -v1 in M sein.
also z.b. zu (1;4) auch (-1;-4) das geht aber nicht, da lambda^2 nie -4 gibt
also kein Unterraum

im 2. Beispiel ist es ähnlich
(5,1,1) ist in M, aber  (-5;-1;-1) nicht, denn 5>1    aber  -5 < -1
also auch kein Unterraum