K-Vektorraum linear unabhängig?

Question

Aufgabe:

Sei \( V \) ein \( K \)-Vektorraum und seien \( v_{1}, \ldots, v_{n} \in V \) linear unabhängig.

Sind dann die folgenden Vektoren linear unabhängig?

a) \( v_{1}, v_{1}+v_{2}, \ldots, v_{1}+\cdots+v_{n} \)

b) \( v_{1}+v_{2}, v_{2}+v_{3}, \ldots, v_{n}+v_{1} \)

Answer 1

a)

Bei a) könntest du von jedem Vektor alle vorherigen Subtrahieren und damit wieder die Vektoren v1 bis vn. Also sind auch die gegebenen Vektoren linear unabhängig.

b)

Untersuche mal die Vektoren [1,1,0], [0,1,1], [1,0,1] auf lineare Abhängigkeit

Jetzt untersuche mal die Vektoren [1,1,0,0], [0,1,1,0], [0,0,1,1], [1,0,0,1] auf lineare Abhängigkeit.

Wie ist das wenn wir das Spiel fortsetzen. Bei einer geraden Anzahl von Vektoren können wir den letzten Vektor als Linearkombination der anderen darstellen. Das funktioniert bei einer ungeraden Anzahl an Vektoren nicht. Damit wäre dann die lineare Abhängigkeit von dem n Abhängig.