Seien \( (\Omega, \mathcal{A}),\left(\Omega^{\prime}, \mathcal{A}^{\prime}\right) \) Messräume und \( f: \Omega \rightarrow \Omega^{\prime} . \) Seien weiter \( A_{1}, A_{2}, \ldots \in \mathcal{A} \) paarweise disjunkt mit \( \Omega=\bigcup_{j=1}^{\infty} A_{j} \) \( \mathcal{A}_{j}:=\left.\mathcal{A}\right|_{A_{j}} \) die Spur- \( \sigma \)-Algebra von \( \mathcal{A} \) bzgl. \( A_{j} \) und \( f_{j}:=\left.f\right|_{A_{j}} . \)
Zeigen Sie:
\( f \text { ist }\left(\mathcal{A}, \mathcal{A}^{\prime}\right) \text {-messbar } \Leftrightarrow f_{j} \text { ist }\left(\mathcal{A}_{j}, \mathcal{A}^{\prime}\right) \text {-messbar fïr alle } j \in \mathbb{N} \)
