Suche Lösungsrezept: Von einer linaeren Abbildung sind gegeben ...

Question

Aufgabe:

(a) Von einer linearen Abbildung \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) sind gegeben:

\( \underline{f}\left(\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right], \quad \underline{f}\left(\left[\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ -7 \end{array}\right], \quad \underline{f}\left(\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ -4 \end{array}\right] \)

Bestimmen Sie \( f\left(\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]\right) \) und \( \underline{f}\left(\left[\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 5\end{array}\right]\right) \)

(b) Gegeben ist die lineare Abbildung \( g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \).

\( \underline{g}:\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right] \mapsto\left[\begin{array}{rr} x_{1}+a x_{2}- & 4 x_{3} \\ x_{1}+2 x_{2}- & 4 x_{3} \\ -3 x_{1}-3 a x_{2}+6 a x_{3} \end{array}\right] \)

Geben Sie die Abbildungsmatrix \( \underline{\underline{A}}_{2} \) von \( g \) an und bestimmen Sie Kern \( \underline{\underline{A}}_{2}, \operatorname{dim} \mathrm{Kern} \underline{\underline{A}}_{2} \) und dim Bild \( \underline{\underline{A}}_{2} \) in Abhängigkeit des Parameters \( a \).

Answer 1

um L(0;0;1)  [Ich schreib die mal neneneinander statt untereinander]
zu bestimmen, musst du versuchen (o;o;1) durch die Vektoren auszudrücken
bei denen du das Bild kennst
hier ist das einfach   (0;0;1) =  0,5*(0;0;2)
also ist  L (0;0;1) = L( 0,5*(0;0;2)) =  0,5 * L(0;0;1)  weil L ja linear ist !!
= 0,5 * (o;4;-4) = (0;2;-2)

Bei dem 2. sieht man es nicht so leicht also wird gerechnet
(o;2;5) = x*(1;0;0) + y*(-2;1;3)+z*(0;0;2) gibt ein lin.
Gleichungssystem mit x=4   y=2    z=-0,5

also L(o;2;5) =  L(  4*(1;0;0) + 2*(-2;1;3)-0,5*(0;0;2)  )
und weil L linear ist
   =    4*L(1;0;0) + 2*L(-2;1;3)-0,5*L(0;0;2) 
  jetzt setzt du die Werte ein, die du kennst
   =   4*(-1;-2;3) + 2*(2;5;-7)-0,5*(0;4;-4)
ausrechnen und fertig !