Gibt es parallele Tangenten von f(x)=x^3-2x^2 zu y=4x?

Question

Gibt es zu der Gerade y=4x parallele Geraden, die Tangenten an den Graphen von f(x)=x³-2x² sind ?
Geben Sie die Gleichungen der zu y parallelen Tangenten an den Graphen von f an.

Answer 1

Hi,

Dazu bilde die Ableitung von f(x):

f'(x) = 3x^2-4x

Nun kennst Du die Steigung. Diese muss m = 4 sein. Also:

f'(x) = 3x^2-4x = 4

3x^2-4x-4 = 0    |:3, dann pq-Formel

x₁ = -2/3 und x₂ = 2

Damit nun in die Funktion, damit Du die Berührpunkte erhältst.

B(-2/3|-32/27) und P(2|0)

Nun die Geraden bestimmen. Steigung ist ja mit m = 4 bekannt.

t(x): -32/27 = 4*(-2/3) + b

b = 40/27

--> t(x) = 4*x + 40/27

k(x): 0 = 4*2 + b

b = -8

--> k(x) = 4*x - 8

Grüße

Comments

B(-2/3|-33/27)
der Funktionswert müßte -32/27 lauten.

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Müssten es nicht -32/27 und nicht -33/27 sein?  Aber sonst danke für die Antwort hat mir sehr weitergeholfen .

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Schon korrigiert gehabt :). Aber danke ;).

Answer 2

Gibt es zu der Gerade y=4x parallele Geraden, die Tangenten an
den Graphen von f(x)=x³-2x² sind ?  Geben Sie die Gleichungen der
zu y parallelen Tangenten an den Graphen von f an.

Gesucht werden Tangenten die die Steigung 4 haben also
Parallelen von y sind.

f ( x ) = x^3 - 2 * x^2
f ´ ( x ) = 3 * x^2 - 4 * x
3 * x^2 - 4 * x = 4  | pq-Formel oder quadratische Ergänzung
x^2 - 4/3 * x = 4/3
x^2 - 4/3 * x + (2/3)^2 = 4/3 + 4/9
( x - 2/3 )^2 = 16/9
x - 2/3 = ± 4/3
x = 2
x = -2/3

Bei x = 2 und x = -2/3 hat die Funktion f die Steigung 4.

f ( 2 ) = 8 - 8 = 0
( 2  | 0 )
y = m * x + b
y = 4 * x + b
0 = 4 * 2  + b
b = -8
y = 4 * x - 8

f ( -2/3 ) = -8/27 - 2*(-2/3)^2 = -8/27 - 8/9 = -32/27
( -2/3  | -32/27 )
y = m * x + b
y = 4 * x + b
-32/27 = 4 * (-2/3)  + b
b = -32/27 + 8/3 = 40/27
y = 4 * x + 40/27