Gebrochenrationale Funktionenschar

Question

Gegeben sei die Funktionenschar

f_p(x) = (log₂x-p) / (p*x); x∈D_fp; p ∈ℝ⁺

a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D_fp der Funktion f_p.

b) Welchen Punkt haben alle Funktionen der Funktionenschar f_p, p∈ℝ⁺ gemeinsam?

c) Zeigen Sie, dass der Punkt aus Teil b) der einzige gemeinsame Punkt der Funktionenschar  f_p, p ∈ℝ⁺ ist.

Answer 1

Gegeben sei die Funktionsschar

f_p  :  x  → f_p  (x) = (log₂ x   - p) / (p* x)  ; x∈ D _{fp ;} p ∈ℝ⁺         

übrigens ist das nicht gebr.rational, weil log₂ vorkommt,

und das ist nicht rational.

a)  Bestimme den maximalen Def. bereich D_fp der Funktion f _p     

x muss größer 0 sein, damit log klappt.

b)  Welche Nullstellen hat die funktion f_p ? 

log₂ x   - p = 0    gibt log₂ x   = p    also  x = 2^p  

c)  Welchen Punkt haben alle Funktionen der Funktionenschar f_p,  p∈ℝ⁺  gemeinsam ?

     (log₂ x   - p) / (p* x)    =    (log₂ x   - p1) / (p1* x) 

(log₂ x   - p) * (p1* x)    =    (log₂ x   - p1) *(p* x) da x>0 kannst du durch x teilen

(log₂ x   - p) * p1    =    (log₂ x   - p1) *p

p1*log₂ x     =   p*log₂ x  

p1*log₂ x     -   p*log₂ x  =0

(p1-p) *log₂ x  =0

also entweder p=p1  oder log₂ x  =0 also x=1

d.h. zwei verschiedene Graphen (p ungleich p1) schneiden sich immer für x=1

also ist der Punkt (1;  -1) allen gemeinsam.

d)  Zeige Sie , das der Punkt aus  Teil c ) der einzige gemeinsame  Punkt der Funktionschar f_p, p∈ℝ⁺ ist.

s.o.

e) Skizziere den Graphen f₂  für p = 2.

Comments

Danke für die sehr schnelle Antwort :)

aber ich verstehe etwas noch nicht ganz.

Wie kommt man von (log₂ x   - p) * p1    =    (log₂ x   - p1) *p

auf

p1*log₂ x     =   p*log₂ x  ?

Wie lautet der Zwischenschritt?

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 (log₂ x   - p) * p1    =    (log₂ x   - p1) *p   Klammern auflösen

 p1 * log₂ x   - p * p1    =    p*log₂ x   - p1 *p    | + p*p1

p1 * log₂ x      =    p*log₂ x 

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kann mir jemand die Skizze hochladen zum Vergleich?