Grenzwert n->unendlich((n^3+1)/(n^3+n^2))

Question

es geht um den Grenzwert.

Aufg.

lim n->∞ ((n^3+1)/(n^3+n^2))

Hatte es so "gerechnet", dass der obere teil gegen unendlich wächst wegen dem n^3, der untere Teil der ebenfalls das n^3 hat, hat darüber hinaus nochmal n^2. Meiner Logik folgend habe ich als Lösung angegeben, dass es gegen 0 geht weil der untere Teil des Bruchs schneller wächst.

In den Lösung werden beide Teile des Bruchs als Gleich behandelt womit der Bruch gegen 1 geht.

Kann mir jemand sagen 1. was richtig ist, und was wichtiger ist 2. welche richtige methode hier angewendet werden kann um das richtig zu bestimmen. ( bin zu lange mit meiner Methode durchgekomen, wird zeit es richtig zu lernen)

Answer 1

lim n->∞ (n³+1)/(n³+n²)             | oben und unten durch n^3

= lim n->∞ (1+1/n^3)/(1+n²/n^3)  

= lim n->∞ (1+1/n^3)/(1+1/n)     | Die beiden roten Summanden gehen gegen 0

= (1+0)/(1+0) 

= 1/1

= 1

Nachtrag. Eine Art Fazit, wenn man häufiger solche Aufgaben gesehen hat.

Konzentriere dich auf die höchsten Potenzen.

Fall 1. Grad Zähler > Grad Nenner

==> Grenzwert unendlich (Vorzeichen den "bedeutenden" Koeffizienten entnehmen)

Fall 2. Grad Zähler < Grad Nenner

==> Grenzwert 0

Fall 3. Grad Zähler = Grad Nenner

lim n->∞ (1n³+1)/(1n³+n²)      

==> Grenzwert 1/1 . Quotient der "bedeutenden" Koeffizienten

Comments

Danke, soweit hatte ich auch schon gedacht. Was mich gestört hatte war, was wenn es (0+1/n³)/(0+1/n) wäre?

Dann würde ja immernoch der obere Teil des Bruches schneller gegen 0, womit eine sehr sehr kleine Zahl durch eine etwas weniger kleinere Zahl dividiert werden würde und alles wieder gegen 0 geht? Genau deswegen half mir die Umformung nicht.

(Ps.: kann ich allgemein antworten oder nur die jeweiligen antworten zu meiner frage kommentieren?)

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Die Nullen gehören da unten nicht hin!

Teile jeweils durch die höchste vorhandene Potenz von n.

D.h. die Koeffizienten, die ich im Nachtrag als 'bedeutend' bezeichnet habe, sind nicht 0.

Gebräuchlich ist bei den Polynomen die Bezeichnung 'Leitkoeffizienten'.

Answer 2

Hi,

$$ \lim_{n\to\infty} \frac { n^3+1 }{ n^3+n^2 }$$

Klammere mal nun aus:

$$  \lim_{n\to\infty} \frac { n^3+1 }{ n^3+n^2 }=\lim_{n^\to\infty}\frac { n^3(1+\frac { 1 }{ n^3 }) }{ n^3(1+\frac { 1 }{ n }) }=\lim_{n\to\infty}\frac {( 1+\frac { 1 }{ n^3 }) }{ (1+\frac { 1 }{ n } )}$$ 

Du siehst schnell, dass 1/n^3 und 1/n gegen Null konvergieren, aslo bleibt 1/1 übrigt und das ist 1, also ist der Grenzwert 1

Comments

Hallo Emre,

wenn du das schon so schön mit Tex schreiben kannst, ergänze doch in der Rechenzeile noch den gekürzten Bruch

im... = lim ... = lim  ((1 + 1/n^3)/(1 + 1/n))

Erst hier, wo die Faktoren n^3 weg sind, kann man gefahrlos n gegen unendlich betrachten.

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Hallo Lu,

Danke :)

Meinst Du, dass ich nochmal: ...=(1+0)/(1+0)=1/1=1 schreiben soll?

Ich weiß nicht was Du genau meinst?

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Nein. Es genügt, wenn du genau das ergänzt, was ich oben geschrieben habe:

lim... = lim ... = lim  ((1 + 1/n³)/(1 + 1/n)) 

schwarz steht schon bei dir.

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Ahso^^ ok mach ich :)

Danke :)

Answer 3

Vorschlag:
kürze den Bruch mit n^3

was steht dann im Zähler, was im Nenner

und was passiert, wenn dann n-> oo geht ?

? -> ...

aber beeile dich, selbst zu überlegen, eh gleich jemand dir alles komplett löst ..

Comments

Zu spät :D ABER! Soweit war ich auch schon, hat mir aber nicht genügt