Aufgabe:
Zeigen Sie, dass für jede komplexe Zahl \( z \) mit \( |z|>1 \) und jede natürliche Zahl \( k \) gilt:
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{k}}{z^{n}}=0 \)
Hinweis: Schreiben Sie \( |z|=1+x \) mit \( x>0 . \) Die Binomialentwicklung liefert damn
\( |z|^{n}>\left(\begin{array}{c} \pi \\ k+1 \end{array}\right) x^{k+1} \)
Schätzen Sie diesen Ausdruck z.B. für \( n>2 k \) geeignet \( \mathrm{ab} \), sodass Sie eine Abschätzung der Form
\( \frac{n^{k}}{|z|^{n}}<c(k, x) \cdot \frac{1}{n} \)
erhalten, wobei \( c(k, x) \) eine reelle Zahl ist, die nur von \( k \) und \( x \) abhängt.
Die folgende Aufgaben verwenden den Begriff der uneigentlichen Konvergenz: Wir setzen
\( \overline{\mathrm{R}}:=\mathbb{R} \cup\{\infty,-\infty\} \)
und definieren eine Ordnung durch \( -\infty<x<\infty \) für alle \( x \in \mathbb{R} \).
Außerdem setzen wir
\( \begin{aligned} \infty+x:=\infty & \text { für } x \in \mathbb{R} \cup\{\infty\} \\ -\infty+x:=-\infty & \text { für } x \in \mathbb{R} \cup\{-\infty\} \\ \infty \cdot x:=\infty, \quad(-\infty)-x:=-\infty & \text { für } x \in \mathbb{R}^{+} \cup\{\infty\} \\ \infty \cdot x:=-\infty, \quad(-\infty) \cdot x:=\infty & \text { für } x \in \mathbb{R}^{-} \cup\{-\infty\} \\ x / \infty:=0, \quad x /(-\infty):=0 & \text { für } x \in \mathbb{R} \end{aligned} \)
Ausdrücke wie „\( 0 \cdot \infty \)“ und „\( (-\infty)+\infty \)“ sind nicht definiert.
Wir sagen, eine reelle Folge \( \left(a_{n}\right) \) konvergiert uneigentlich gegen \( \infty \) (bzw. \( \left.-\infty\right) \), falls zu jedem \( C \in \mathbb{R} \) ein \( n_{0}=n_{0}(C) \in \mathbb{N} \) existiert mit \( a_{n} \geq C \) (bzw, \( \left.a_{n} \leq C\right) \) für alle \( n \geq n_{0} \)
Notation: \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty\left(\mathrm{bzw}, \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=-\infty\right) \).
Analog erweitert man die Definition des Limes inferior und des Limes superior auf unbeschränkte reelle Folgen, indem man \( inf \left\{a_{k}: k \geq n\right\}=-\infty \) setzt, falls \( \left\{a_{k}: k \geq n\right\} \) nicht nach unten beschränkt ist, und analog für das Supremum.
