Konvergenz von Potenzreihen komplexer Zahlen

Question

Hi,

Aufgabe:

Für welche komplexen Zahlen z konvergieren die folgenden Potenzreihen? Belegen Sie
Ihre Antworten.

iii) \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{z^k}{(2+i)^k} \)

iv) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k}{\sqrt[k]{k!}} z^k \)

Problem/Ansatz:

Ich hab keine Ahnung, wie ich da überhaupt ansetzen soll. Die vorherigen Aufgabenteile konnte ich mir zumindest noch ableiten bzw. zusammenreimen, aber auch wenn ich weiß, wie die beiden Aufgabenteile konvergieren, also zu welchen Grenzwerten und bei welchen Bedingungen (iii: |z| < |2+i|, iv: |z|<1? soweit ich das richtig verstanden habe), komme ich nicht mal auf einen Ansatz, um das nachzuvollziehen und vor allem nicht, wie ich das belegen soll.

Würde mich über Hilfe sehr freuen, verzweifle an den beiden Aufgaben schon eine ganze Weile.

!

Answer 1

Tipp zu III z als als die wurzel aus (a^2+b^2) umschreiben wegen des Betrags und  2+i als die Wurzel aus (2^2+1^2) auch wegen des Betrags umschreiben umschreiben

Comments

Meinst du (2+i) als \( \sqrt{2²+1²} \) oder als \( \sqrt{2²+i²} \)?

Wenn ich i quadrieren soll, kann ich das ja nachvollziehen, dann habe ich anstelle des i² ja eine -1. Nur woher sonst die 1² kommt, verstehe ich gerade nicht ganz.

Ich weiß nur nicht, ob ich da jetzt ein Brett vorm Kopf habe oder wie mir das weiterhelfen soll, dann hab ich ja:

\(\frac{\sqrt{(a²+b²}^k}{\sqrt{(2²-1}^k} \)

Also folgere ich dann später:

\(\frac{(a+b)^k}{\sqrt{3}^k} \) (bzw. Wurzel aus 5 bei 2²+1²)

Ich hab das Gefühl, dass ich total dran vorbeirutsche, aber irgendwie komm ich gerade echt überhaupt nicht drauf, steige bei dieser imaginären Zahl einfach überhaupt nicht durch und unser Skript ist da leider auch nicht hilfreich. :/