Die n-te Fibonacci–Zahl a n ist durch
a1 := 1, a2 := 1, an+2 := an + an+1 (für n ≥ 0)
definiert und eine neue Folge
$$ { b }_{ n }\quad :=\frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } } $$
gebildet.
1. Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die Folge der Fibonacci-Zahlen
(an)n∈N monoton wächst.
2. Beweisen Sie mit vollständiger Induktion die Aussage
\( b_{n}-b_{n+1}=\frac{(-1)^{n}}{a_{n} a_{n+1}} \)
(Variante: Man kann dies direkt mit vollständiger Induktion zeigen. Eine
Variante besteht darin, zunächst \( a_{n}^{2}-a_{n+1} a_{n-1}=(-1)^{n-1} \) mit vollständiger Induktion zu zeigen und daraus die Gleichung zu folgern)
3. Zeigen Sie mit Gleichung (1), dass
\( \begin{aligned} b_{2 n}-b_{2 n+2} &=\frac{1}{a_{2 n+1}}\left(\frac{1}{a_{2 n}}-\frac{1}{a_{2 n+2}}\right) \\ b_{2 n-1}-b_{2 n+1} &=\frac{1}{a_{2 n}}\left(\frac{1}{a_{2 n+1}}-\frac{1}{a_{2 n-1}}\right) \end{aligned} \)
und folgern Sie, dass die Folge (b2n ) n∈N monoton fällt, und die Folge
(b2n+1 )n∈N monoton wächst.
4. Folgern Sie aus Gleichung (1), dass für alle n, m ∈ N
b2n > b2m+1 ,
d.h. alle geraden Folgenglieder sind größer als alle ungeraden Folgenglieder.
5. Folgern Sie, dass die Folgen (b2n)n∈N und (b2n+1)n∈N konvergieren. Schließen
Sie daraus, dass die Folge (bn )n∈N gegen (1-√5)/2 konvergiert
