Bestimmen Sie ein ungerades Polynom 5.Grades mit N und W bei x=1 und Steigung 7 bei x=0

Question

Bestimmen sie ein ungerades Polynom 5. Grades, das an der Stelle x=1 eine Nullstelle und eine Wendestelle besitzt und dessen Funktionskurve an der Stelle x=0 die Steigung 7 besitzt!

Schonmal !

 kann ich hierbei sagen: weil die Funktionskurve symmetrisch zum Ursprung ist hat sie ebenfalls eine Nullstelle und einen Wendepunkt bei x=-1??

Answer 1

Hi,

 

"ungerades" Polynom 5ten Grades verlangt den Ansatz f(x)=ax⁵+bx³+cx.

Wir haben also drei Unbekannte und brauchen auch drei Gleichungen. Diese ergeben sich zu

(1): f(1)=0 (x=1 ist Nullstelle)

(2): f''(1)=0 (x=1 ist Wendestelle)

(3): f'(0)=7 (Steigung an Stelle 0 ist 7)

 

Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

(1): a+b+c=0

(2): 20a+6b=0

(3): c=7

 

Dieses gelöst ergibt a=3, b=-10 und c=7.

Die gesuchte Funktion lautet also f(x)=3x⁵-10x³+7x.

 

Grüße

 

P.S.: Deinen Ansatz mit dem Wendepunkt auf der anderen Seite kannst du auch anbringen. Hilft dir aber letztlich nicht weiter, weil eine Bedingung weiterhin fehlt.

Comments

Könntest du mir das LGS mal noch eben auflösen, irgendwie vergisst man im Laufe der Zeit die einfachen Dinge der Mathematik, sodass ich da irgendwo nen Fehler reingemacht hab.

Gruß

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Wegen der Einfachheit würde ich das Einsetzungsverfahren wählen:

(1): a+b+c=0

(2): 20a+6b=0

(3): c=7

 

(3) in (1): a+b+7=0 (1a)

(1a) nach a auflösen: a=-7-b

Damit in die (2) (Klammer nicht vergessen!):

20(-7-b)+6b=0

-140-20b+6b=0 |+140

-14b=140 |:(-14)

b=-10

 

Nun wieder in die (1a):

a+b+7=0

a-10+7=0

a-3=0

a=3

 

Klar? ;)

Answer 2

Bestimmen sie ein ungerades Polynom 5. Grades, das an der Stelle \(x=1\) eine Nullstelle und eine Wendestelle besitzt und dessen Funktionskurve an der Stelle \(x=0\) die Steigung 7 besitzt!

Dieses ungerade Polynom hat auch an der Stelle \(x=-1\) eine Nullstelle wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung.

Somit gibt es 3 Nullstellen. Ich nehme nun die Nullstellenform des ungeraden Polynoms 5. Grades:

Ich kann so schreiben, weil die Nullstelle bei N auch punktsymmetrisch zum Ursprung ist:

\(f(x)=a [x(x-1)(x+1)(x-N)(x+N)]\\=a [x(x^2-1)(x^2-N^2)]\\=a[x^5-N^2x^3-x^3+N^2x]\)

Bei \(x=1\) ist eine Wendestelle→2.Ableitung:

\(f'(x)=a[5x^4-3N^2x^2-3x^2+N^2]\)

\(f''(x)=a[20x^3-6N^2x-6x]\)

\(f''(1)=a[20-6N^2-6]=a[14-6N^2]=0\)

\(14-6N^2=0\)

\(N^2=\frac{7}{3}\)

\(f'(x)=a[5x^4-10x^2+\frac{7}{3}]\)

Steigung im Ursprung ist 7:

\(f'(0)=a[\frac{7}{3}]=7\)

\(a=3\)

\(f(x)=3[x^5-\frac{10}{3}x^3+\frac{7}{3}x]\)