Berechnung gemischt-quadratische Gleichung mit Formvariablen: x²+1 = (a²+b²) / ( a*b) * x

Question

Wie groß ist x ?  bei :   x²+1= a²+b²*x:a*b

 

Präzision: x²+1 =  ((a²+b²)x)  / ( a*b)  

 

Comments

x²+1= a²+b²*x:a*b

Soll das x²+1 =  a² +  b²*x:(a*b)     oder     x²+1 = a²+ b² * (x/a) *b

heißen?

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Die quadratische Gleichung ist: : x²+1= a²+b²  /  a*b   * x .  Der Schrägstrich stellt einen Bruchstrich da.

Die Lösung ist bekannt , mit x1 = a/b und x2 = b/a.  Hier ist ebenfalls der Schrägstrich ist ein Bruchstrich.

Ich habe es mit Erweiterungen (Binomische Formel) versuchtt und komme nicht auf das Ergebnis .



Die Aufgabe ist  in der 7. Auflage von Heinz Rapp - Mathematik für die Fachschule Technik auf S.126.

Answer 1

Noch ein Alternativvorschlag:

 

x²+1=(a²+b²)/(ab)*x  |*(ab)

(ab)(x²+1)=(a²+b²)*x | ausmultiplizieren

abx²+ab=a²x+b²x  | alles nach links

abx²+ab-a²x-b²x=0  | ausklammern von ax aus den Termen abx² und a²x

ax(bx-a)+ab-b²x=0  | ausklammern von -b bei den hinteren Termen

ax(bx-a)-b(-a+bx)=0

ax(bx-a)-b(bx-a)=0 | ausklammern von (bx-a)

(bx-a)(ax-b)=0

 

Nun noch Satz vom Nullprodukt -> Ein Produkt ist dann Null, wenn es min. ein Faktor ist.

Es ergibt sich sofort: x=a/b und x=b/a

 

Comments

(bx-a)(ax-b)=0

Das könntest Du noch mit 1/a und 1/b multiplizieren:

(bx-a) * 1/b *   (ax-b) * 1/a = 0

(x- a/b) * (x - b/a) = 0

Dann ist es noch offensichtlicher.

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Das wollte ich dem Fragesteller überlassen ;).

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Danke für die Antwort.

Wie kann ich die Aufgabe mit der Normalform  x² + px + q = 0 oder mit der Allgemeinform ax² + bx + c = 0 lösen. Die Normalform ist ja X1/2 = -p/2 + - Wurzel aus in (p/2)² - q und die andere ist  X1/2 = - b + - Wurzel aus b² - 4ac / 2a. Eine der beiden Möglichkeiten muß ich bei der Arbeit anwenden.

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Bist du sicher, dass Du gezwungen wirst, diese Formel anzuwenden? Ich denke das wird nur eine weitere Option sein, das zu lösen.

Mal mit der Mitternachtsformel (ich beginne mal mit meiner 4ten (der farbigen) Zeile):

abx²+ab-a²x-b²x=0   |sinnvoll nach Art ax²+bx+c ordnen

abx²-a²x-b²x+ab=0    

abx²-(a²+b²)+ab=0

 

Damit nun in die Mitternachtsformel: (Vorsicht, das b aus der Mitternachtsformel entspricht bei uns -(a²+b²)  ):

 

 

Den Rest schaffst du sicher alleine. Nur noch den Bruch auflösen ;).

Du hast sicher auch erkannt, dass ich in der zweiten Zeile die binomische Formeln im Radikanden benutzt hatte.

 

 

Answer 2

Am besten Du löst das Problem mit dem Satz von Vieta.

Allgemeine quadratische Gelichung: x^2 +p x +q = 0

Dazu formst Du die Gleichung um in:

Laut Vieta gilt:

-p = x1 * x2  // x1 und x2 sind die Nullstellen

q = x1+x2

Es ist also:

-p = a/b + b/a = x1 + x2

q = 1 = x1*x2

Damit ist gezeigt, dass a/b und b/a Nulsstellen der quadratischen Gleichung sind.

 

Comments

Zur Erklärung:

Allgemein: (x - x1) * (x - x2) = x^2 - x * (x1 + x2) + x1 * x2. Die Nullstellen liegen also bei x1 und x2.

Vergleich mit allgemeiner  Quadratischer Gleichung: x^2 + px +q = 0 liefert -p = x1 + x2, q = x1 * x2

Das letzte Glied der Gleichung ist ein Produkt der Nullstellen, das mittlere (zum Teil) eine Summe der Nullstellen; diese Tatsache macht man sich hier zu Nutze.

Unknowns Vorgehensweise führt sicherer zu Ziel. Meine ist bei einfachen Aufgaben etwas schneller, hat aber den Nachteil, dass man kein Ergebnis erhält, wenn x1 und x2 nicht so offensichtlich zusammen passen.

Answer 3

 

x²+1 =  ((a²+b²)x)  / ( a*b)  

x² -  (a²+b²)  / ( a*b)  * x + 1 = 0.

Jetzt allg. Formel mit  a=1, b = -(a^2 + b^2) / (ab) und c = 1 verwenden.

Und dann vorwärts und rückwärts mit binomischen Formeln die Brüche und Wurzeln vereinfachen.

Schreib das Folgende mit Bruchstrichen ab, damit es übersichtlicher wird und man nicht Klammern zählen muss.

 x_1,2 = 1/2 ( (a^2 + b^2) / (ab) ± √ ((a^2 + b^2)^2 / (ab)^2 - 4 ) )

 =  1/2 ( (a^2 + b^2) / (ab) ± √ ((a^2 + b^2)^2 / (ab)^2 - 4 (ab)^2/(ab)^2 ) )

= 1/2 ( (a^2 + b^2) / (ab) ± √ ((a^2 + b^2)^2 - 4 (ab)^2) /(ab)^2 ) )

= 1/2 ( (a^2 + b^2) / (ab) ± √ ((a^4 + 2a^2 b^2 + b^4 - 4 a^2 b^2) /(ab)^2 )  )

= 1/2 ( (a^2 + b^2) / (ab) ± √ ((a^4 -2a^2 b^2 + b^4 ) /(ab)^2 ) )

= 1/2 ( (a^2 + b^2) / (ab) ± √ ((a^2 -  b^2 )^2 /(ab)^2 ) )

= 1/2 ( (a^2 + b^2) / (ab) ±   (a^2 -  b^2 ) /(ab)  )

x₁ = 1/2 ( (a^2 + b^2 + a^2 - b^2) / (ab) )= 1/2 ( 2a^2 / (ab) ) = a / b

x₂ = 1/2 ( (a^2 + b^2 - a^2 + b^2) / (ab)) = 1/2 ( 2b^2 / (ab) ) = b / a

Comments

 

Bitte.

Präzision zu den letzten paar Schritten. Das stimmt nicht ganz, ist aber zum Schluss nicht relevant,

x_1,2=…= 1/2 ( (a² + b²) / (ab) ± √ ((a² -  b² )² /(ab)² ) )

= 1/2 ( (a² + b²) / (ab) ±  | (a² -  b² ) | /(ab)  )

Falls a>b  kann man die Betragsstriche einfach weglassen:

x₁ = 1/2 ( (a² + b² + a² - b²) / (ab) )= 1/2 ( 2a² / (ab) ) = a / b

x₂ = 1/2 ( (a² + b² - a² + b²) / (ab)) = 1/2 ( 2b² / (ab) ) = b / a

Falls b<a |a^2 - b^2| = b^2 - a^2

x_1,2=…= 1/2 ( (a² + b²) / (ab) ± √ ((a² -  b² )² /(ab)² ) )

= 1/2 ( (a² + b²) / (ab) ±  (b² -  a² )  /(ab)  )

 

x₁ = 1/2 ( (a² + b² + b² - a²) / (ab) )= 1/2 ( 2b² / (ab) ) = b / a

x₂ = 1/2 ( (a² + b² - b² + a²) / (ab)) = 1/2 ( 2a² / (ab) ) =  a /b