Ableitungen von sin und cos

Question

Meine Aufgabe lautet:

f(x) = cos(x) * (2+sin²(x))

Zeigen Sie: f'(x) = -3sin²(x) für alle x Element R.

Aber wenn ich die Ableitungen davon ableite, dann kriege ich folgendes Ergebnis heraus:

f'(x) = 2 (cos²(x)  * sin (x) - sin (x) * ( sin²(x) + 2)

Wie bekomme ich denn mein Cosinus daraus? Oder habe ich irgendwo einen Fehler in der Ableitung bei mir? Weil ich bekomme einfach nicht die oben genannte Ableitung heraus.

Danke für Eure Hilfe! :)))

Answer 1

f(x) = COS(x)·(2 + SIN(x)^2)

f'(x) = - SIN(x)·(2 + SIN(x)^2) + COS(x)·(2·SIN(x)·COS(x))

f'(x) = - 2·SIN(x) - SIN(x)^3 + 2·SIN(x)·COS(x)^2

f'(x) = SIN(x)·(- 2 - SIN(x)^2 + 2·COS(x)^2)

f'(x) = SIN(x)·(- 2 - SIN(x)^2 + 2·(1 - SIN(x)^2))

f'(x) = SIN(x)·(- 2 - SIN(x)^2 + 2 - 2·SIN(x)^2)

f'(x) = SIN(x)·(- 3·SIN(x)^2)

f'(x) = - 3·SIN(x)^3

Comments

f(x) = COS(x)·(2 + SIN(x)^2)

f(x) = COS(x)·(2 + 1 - COS(x)^2)

f(x) = 3·COS(x) - COS(x)^3

f'(x) = - 3·SIN(x) - 3·COS(x)^2·(- SIN(x))

f'(x) = - 3·SIN(x) + 3·SIN(x)·COS(x)^2

f'(x) = - 3·SIN(x) + 3·SIN(x)·(1 - SIN(x)^2)

f'(x) = - 3·SIN(x) + 3·SIN(x) - 3·SIN(x)^3

f'(x) = - 3·SIN(x)^3

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Dankeschön :)

Ich hätte aber noch eine Frage. Um die globalen Extrema zu bestimmen, muss ich ja nun die Ableitung im 1. Schritt nullsetzen.

also: -3 sin² (x) = 0

Wie löse ich allgemeine Sinusfunktionen auf?

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Sollte es nicht

f'(x) = - 3·SIN(x)³ = 0

lauten?

Wo wird denn der Sinus Null. Eigentlich bei k*pi oder nicht ?

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Ja genau, ich meinte hoch 3.

Wir sollen im Intervall [- pi/2, pi] schauen. Aber ich habe noch irgendwie kein Gefühl, wie ich Sinusfunktionen oder ähnliche Funktionen auflösen kann, sodass ich x Werte erhalte.

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Das geht generell mit der Umkehrfunktion vom Sinus.

SIN(x) = a

x = SIN^{-1}(a)

Achtung. Beim Sinus gibt es aber immer unendlich viele Lösungen. Die kann man auch allgemein angeben. Betrachte dazu die Symmetrie der Sinusfunktion.