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Aufgabe: Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen sin und cos mithilfe des Satzes über die Differenzierbarkeit von Potenzreihen.

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Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen sin und cos mithilfe des Satzes über die Differenzierbarkeit von Potenzreihen.

Und warum tust du es nicht?

Hast du die Potenzreihe für sin(x) nicht gefunden oder kannst du sie nur nicht ableiten?

2 Antworten

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Schnapp dir die Potenzreihe vom Sinus, leite sie ab und forme sie so um, dass die Potenzreihe des Cosinus entsteht.

Verfahre ähnlich um die Ableitung des Cosinus zu bestimmen.

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Aloha :)

Die Potenzreihen für Sinus und Cosinus lauten:

$$\sin x=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\quad;\quad\cos x=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$Da wir wissen, dass wir uns bei beiden unendlichen Summen innerhalb ihres Konvergenzradius bewegen, können wir die Ableitung "unter die Summe" ziehen:

$$(\sin x)'=\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)$$$$\phantom{(\sin x)'}=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\left(\frac{(2n+1)x^{2n}}{(2n+1)!}\right)=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(2n+1)x^{2n}}{(2n)!\cdot(2n+1)}$$$$\phantom{(\sin x)'}=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=\cos x$$

Bei der Ableitung der Cosinus-Funktion musst du mit dem Startindex der Summe aufpassen:$$(\cos x)'=\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\right)=\frac{d}{dx}\left(1+\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\right)$$$$\phantom{(\cos x)'}=\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2n}}{(2n)!}\right)$$$$\phantom{(\cos x)'}=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\left(\frac{2n\,x^{2n-1}}{(2n)!}\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{2n\cdot x^{2n-1}}{2n\cdot(2n-1)!}$$$$\phantom{(\cos x)'}=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^{n+1}\frac{x^{2(n+1)-1}}{(2(n+1)-1)!}$$$$\phantom{(\cos x)'}=-\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=-\sin x$$

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