Aloha :)
Die Potenzreihen für Sinus und Cosinus lauten:
$$\sin x=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\quad;\quad\cos x=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$Da wir wissen, dass wir uns bei beiden unendlichen Summen innerhalb ihres Konvergenzradius bewegen, können wir die Ableitung "unter die Summe" ziehen:
$$(\sin x)'=\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)$$$$\phantom{(\sin x)'}=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\left(\frac{(2n+1)x^{2n}}{(2n+1)!}\right)=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(2n+1)x^{2n}}{(2n)!\cdot(2n+1)}$$$$\phantom{(\sin x)'}=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=\cos x$$
Bei der Ableitung der Cosinus-Funktion musst du mit dem Startindex der Summe aufpassen:$$(\cos x)'=\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\right)=\frac{d}{dx}\left(1+\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\right)$$$$\phantom{(\cos x)'}=\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2n}}{(2n)!}\right)$$$$\phantom{(\cos x)'}=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\left(\frac{2n\,x^{2n-1}}{(2n)!}\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{2n\cdot x^{2n-1}}{2n\cdot(2n-1)!}$$$$\phantom{(\cos x)'}=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^{n+1}\frac{x^{2(n+1)-1}}{(2(n+1)-1)!}$$$$\phantom{(\cos x)'}=-\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=-\sin x$$
