3 Ableitungen bilden von f(x)= sin(x)*cos(x)

Question

bitte um Lösung der o.g Funktion!

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Tipp: \(f(x)=\frac12\sin2x\).

Answer 1

f(x)=sin(x)*cos(x)

f'(x)=Cos(x)*-sin(x)

f''(x)=-sin(x)*-cos(x)

f'''(x)=-cos(x)*sin(x)

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Das stimmt wohl nicht.

Answer 2

Produktregel und Umformung ergeben: f '(x)=2cos²(x)-1

Kettenregel ergibt: f ''(x)= -4sin(x)·cos(x)

Produktregel und Umformung ergeben: f '''(x)=4-8cos²(x)

Answer 3

mit Produktregel:

f ' (x) = sin(x) * ( -sin(x) ) + cos(x) * cos(x) = cos²(x) - sin²(x) = 2cos²(x)-1

Dann Kettenregel

f ' ' (x) = -4 * sin(x) * cos(x)  Dann wieder wie bei f '.

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die erste Ableitung habe ich hinbekommen, aber dann habe ich Probleme mit dem zusammenfassen für die 2. ableitung mit diesem hoch 2 bei sin und cos!

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cos^2(x)=2*cos(x)*(-sin(x))

-sin^2(x)=-2*sin(x)*(-cos(x))

und das dann zusammenfassen oder wie?

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Verwende sin²(x) + cos²(x) = 1

(sog. trigonometrischer Pythagoras)

Dann kannst du ersetzen

sin²(x)   durch  1 -   cos²(x).

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aha. aber es steht doch ein minus zw sin^2(x) und cos^2(x)?

darf ich das trotzdem machen?

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gibt es noch eine andere Möglichkeit, wenn ich nicht auf dieses Satz komme das zu lösen?

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cos²(x) - sin²(x)

= cos²(x) - (  1 -   cos²(x)  )

= cos²(x) -   1    + cos²(x) 

= 2cos²(x)-1

oder wie du es hattest:

cos²(x)=2*cos(x)*(-sin(x))

-sin²(x)=-2*sin(x)*(cos(x))  (kein - bei cos ! )

also

cos²(x) - sin²(x) = 2*cos(x)*(-sin(x))) - 2*sin(x)*(cos(x))

=  -4 * sin(x) * cos(x) .

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wieso kein -cos(x)   wenn ich (-sin(x)) ableite komm doch -cos(x) raus, oder nicht?

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dann verstehe ich nicht, wie das man das zusammen fassen tut? die 2*(-2) werden separat multipliziert und cos(x) und sin(x) aus separat?

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Du leitest doch -sin²(x) ab.  Das gibt nach der Kettenregel

-2*sin(x)  * Ableitung der inneren Funktion

= -2*sin(x)  * cos(x) .

zusammenfassen wie bei

-2x -2x = -4x

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okay und wie fasse ich cos(x) uns sin(x) zusammen?

die kommen ja nur hinter die -4 ran