Lösen einer Exponentialgleichung

Question

Kann mir bitte jemand helfen, die folgende Exponentialgleichung zu lösen?

1,2^x-15*1,2^-x=2

Answer 1

Gleichung mit 1,2^x multiplizieren:

1,2^{2x}-15 -2 = 2*1,2^{x}

Umstellen und substituieren:

1,2^x = z

z^2 -2z -15 = 0

pq-Formel:

1+- Wurzel (1+15) = 1+- 4

z1 = 5

z2 = -3 (entfällt)

Resubstitution:

1,2^x = 5

x*ln1,2 = ln5

x = ln5/ln1,2

Answer 2

Lösungsweg ohne Substitution:

\(1,2^{x}-15\cdot 1,2^{-x}=2\)  Umschreiben:

\(1,2^{x}-\frac{15}{1,2^{x}}=2|\cdot 1,2^{x}\)

\(1,2^{2x}-2\cdot 1,2^{x}=15\) quadratische Ergänzung und 2.Binom:

\((1,2^{x}-1)^2=15+1=16|±\sqrt{~~}\)

1.)

\(1,2^{x}-1=4\)

\(1,2^{x}=5\)

\(x\cdot \ln(1,2)=\ln(5)\)

\(x_1=\frac{\ln(5)}{\ln(1,2)}\)

2.)

\(1,2^{x}-1=-4\)

\(1,2^{x}=-3\) Hier gibt es keine Lösung in ℝ