Berechnen Sie die Taylorreihe von f_{a} im Nullpunkt.

Question

Sei \( a \in \mathbb{R} . \) Die Funktion \( f_{a} \) erfülle die Bedingungen \( f_{a}(0)=1 \) und \( f_{a}^{\prime}(0)=0 \) sowie \( f_{a}^{\prime \prime}(t)=-a^{2} f_{a}(t) \).

Berechnen Sie die Taylorreihe von \( f_{a} \) im Nullpunkt.

Answer 1

f '''(t) = -a^2 * f ' (t)  und  f⁽⁴⁾ = -a^2 * f ' ' (t) = -a^2 * ( -â^2 )* f (t) = a^4 * f( t )
und so fort. Dann siehst du, dass die Werte, die du für die Taylorreihe brauchst
f(0)    f '  (o)    f ' ' (0)   f ' ' ' (0)    f ⁽⁴⁾ ( 0 )       f ^{( 5 )} (0)     etc. sind:
1          0           -a^2      0              a^4                 0             -a^6         0        a^8         0       -a¹⁰ 

also fallen die Glieder mit ungeradem Expo. von x alle weg und du hast bei x²ⁿ 
den Koeffizienten    (-1)^n  *  a²ⁿ   /   (2n)! 

Also Taylorreihe =  Summe für n = 0 bis unendlich    über   ( (-1)^n  *  a²ⁿ   /   (2n)! ) * x²ⁿ