Aloha :)
$$\partial_x f=\log\left(2+2xe^y\right)\cos\left(xe^y\right)\cdot\partial_x(xe^y)=\log\left(2+2xe^y\right)\cos\left(xe^y\right)e^y$$$$\partial_y f=\log\left(2+2xe^y\right)\cos\left(xe^y\right)\cdot\partial_y(xe^y)=\log\left(2+2xe^y\right)\cos\left(xe^y\right)xe^y=x\partial_x f$$$$\partial_z f=-\log\left(2+2\sin z\right)\cos\left(\sin z\right)\cdot\partial_z(\sin z)=-\log\left(2+2\sin z\right)\cos^2\left(\sin z\right)$$
$$\partial_{xx} f=\frac{2e^y}{2+2xe^y}\cos\left(xe^y\right)e^y-\log\left(2+2xe^y\right)\sin\left(xe^y\right)e^{2y}$$$$\partial_{xy} f=\partial_x f+x\partial_{xx}f$$$$\partial_{xz} f=0$$$$\partial_{yz}f=0$$$$\partial_{yy}f=x\partial_{yx}f$$$$\partial_{zz}f=-\frac{2\cos z}{2+2\sin z}\cos^2\left(\sin z\right)+2\log\left(2+2\sin z\right)\cos\left(\sin z\right)\sin(\sin z)\cos z$$
Bevor ich jetzt mit den Ableitungen 3-ter Ordnung loslege, wozu ich nicht wirklich Lust habe, bin ich irritiert, dass da steht, man soll \(\partial_{xy^2}f(0,0,0)\) bestimmen. Das müsste ich ja, wenn die Taylor-Reihe bis zur dritten Ordnung gehen soll, sowieso machen. Daher vermute ich, dass ihr die Taylor-Reihe nur bis zur 2-ten Ordnung eintwickeln sollt?!
Kannst du das mal bitte prüfen, denn für die 2-te Ordnung ist der Rechenaufwand erledigt und überschaubar.
Nachtrag:
Da nun geklärt ist, dass das Taylor-Polynom bis zur 2-ten Ordnung zu entwickeln ist, können wir es auch angeben:$$f(0,0,0)=0\quad\text{weil das Integral von \(0\) bis \(0\) geht}$$$$\partial_x f(0,0,0)=\log(2)\quad\;;\quad\partial_y f(0,0,0)=0\quad\;;\quad\partial_z f(0,0,0)=-\log(2)$$$$\partial_{xx} f(0,0,0)=0\quad\quad\quad;\quad \partial_{yy} f(0,0,0)=0\quad;\quad\partial_{zz} f(0,0,0)=-1$$$$\partial_{xy} f(0,0,0)=\log(2)\quad;\quad \partial_{xz} f(0,0,0)=0\quad;\quad\partial_{yz} f(0,0,0)=0$$$$f(x,y,z)\approx0+\log(2)(x-z)+\frac{1}{2}\left(-z^2+\log(2)xy+\log(2)yx\right)$$$$\underline{f(x,y,z)\approx-\frac{z^2}{2}+\log(2)\cdot\left(x-z+xy\right)}$$
Die noch verlangte partielle Ableitung dritter Ordnung lautet:$$\partial_{xy^2}f=\partial_x(\partial_{yy}f)=\partial_x(x\partial_{yx}f)=\partial_x(x(\partial_xf+x\partial_{xx}f))$$$$\phantom{\partial_{xy^2}f}=\partial_xf+x\partial_{xx}f+\partial_{xx}f+\partial_{xx}f+\partial_{x^3}f$$$$\phantom{\partial_{xy^2}f}=\partial_xf+(x+2)\partial_{xx}f+\partial_{x^3}f$$Die Freude am Ausrechnen möchte ich euch jedoch nicht nehmen ;)))
