Komplizierten Bruch vereinfachen

Question

Kann mir bitte einer ausführlich zeigen, wie man folgende Bruchgleichung vereinfachen kann?

$$\frac { X }{ \frac { 8-X }{ \frac { 15 }{ \frac { X }{ 8-X } +1 }  }  } =a$$

Vielen Dank

Answer 1

Erst mal mit dem großen Bruch im Nenner multiplizieren,
Dann bleibt links nur noch das x und rechts steht dann a * dieser Bruch

                
                     8 - x
                   --------
                      15
x =  a  *  --------------------
                    x
                  -----     +  1
                 8  - x                                                                     8 - x

   Jetzt machst du unten aus der 1 einfach den Bruch  --------------  

8 - x

                                  x                               8
   Dann gibt              -----     +  1   =    -------------
                              8  - x                         8 - x

Also sieht es so aus:
                     8 - x
                   --------
                      15
x =  a  *  --------------------
                    8
                  -----   
                 8  - x      
Jetzt wird der Doppelbruch aufgelöst, d.h. der obere wird mit dem
Kehrwert des unteren multipliziert:

                     8 - x          8 - x
x =  a  *      -------- *  -----------
                      15             8

Das gibt:      (8-x)^2
x = a *    --------------------------
                         120
Jetzt alles mit der 120 multipliz.

120x = a * (8-x)^2

120x = a ( 64 - 16 x + x^2 )
120x = 64a  -16ax  + ax^2
0  =  64a  + (-16a-120)x + ax^2
gibt mit Lösungsformel oder mit quadr. Ergänzung
x = (8a+60   +- wurzel(60(4a+15) ) / a