Welche Bedingung müssen a und b erwei Extremstellen besitzt?

Question

Wie Begründe ich dass ?

f' (x) = 0

Welche Bedingung müssen a und b erfüllen, wenn die Funktion f zwei Extremalstellen besitzen soll

a) f(x)= ax³-bx²

f'(x)= 3ax² -2bx

f''(x) = 6ax -2b

0 = 6ax -2b | +2b

2b = 6ax |/2

b= 3ab

f'''(x)= 6ax – 2*3ax

f'''(x) = 6ax -6ax

f'''(x) = 0

b) f(x)=x³ +ax²-8/3a²x +b

f''(x) = 3x²+ax-8/3a²

f'''(x) = 6x+2a

a= -3x

1. f(x) = 1/3 x³ +ax² +bx -1

f'(x) = 1/3 x³+ ax² +bx -1

f'' (x) = 2x+2a |-2a

2a= 2x

a= x

PQ

• 2a/2 +- wurzel (2a/2)² -b

wir haben unter der wurzel a-b ?

Answer 1

$$ \text{b)}\quad f\left(x\right) = x^3 + ax^2 - \frac{8}{3}a^2x + b \\\,\\ \text{Die Wendestelle ist bei}\quad x=-\frac { 1 }{ 3 }a. \\\,\\ \text{Die Steigung betraegt dort}\quad f'\left(-\frac { 1 }{ 3 }a\right)=-3a^2. \\\,\\ \text{Der Leitkoeffizient (der Faktor vor der hoechsten Potenz) ist positiv.}\\\,\\ \text{Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat genau dann Extremstellen,}\\ \text{wenn die Steigung an der Wendestelle das entgegengesetzte Vorzeichen des}\\ \text{Leitkoeffizienten besitzt. Das ist der Fall für } a\ne0 \text{ und beliebiges }b.$$
Anmerkung: Da es sich hier bei allen drei Funktionen um ganzrationale Funktionen dritten Grades handelt, lassen sich auch die beiden anderen Funktionen in ähnlicher Weise untersuchen. Das finde ich einfacher und auch interessanter, als zu versuchen, die Extremstellen auszurechnen.

Comments

Prinzipiell finde ich es gut wenn auch andere Vorgehensweisen
eingestellt werden.
Dadurch können Interessierte ja nur lernen.
Ich bezweifele jedoch ob der Fragesteller mit deiner Antwort
etwas anfangen kann, da diese vielleicht etwas zu hoch angesiedelt ist.

Answer 2

Welche Bedingung müssen a und b erfüllen, wenn die Funktion
f zwei Extremalstellen besitzen soll

f(x)= ax³-bx²

f'(x)= 3ax² -2bx

f''(x) = 6ax -2b

Stellen mit waagerechter Tangente
1.Ableitung = 0

f ´( x ) = 3ax^2 - 2bx

3ax^2 - 2bx = 0
x^2 - 2b/(3a) * x = 0
x * ( x - 2/3 *b/a ) = 0
x = 0
x - 2/3 *b/a = 0
x = 2/3 * b/a

Ausnahmen :
a = 0 Division durch 0
falls b = 0 ist dann ist x auch 0 und es gibt nur
einen Wert
2 Punkte mit waagerechter Tangente gibt es für
a ≠ 0  und b ≠ 0

Wendepunkte oder Extremstellen ???
in die 2.Ableitung einsetzen

f''(x) = 6ax -2b

f ´´ ( x ) = 6ax - 2b
f ´´ ( 0 ) = -2b
mit der Ausnhame von b = 0 ( zuvor bereits ausgeschlossen )
ist der Wert positiv oder negativ also ein Extrempunkt.

f ´´ ( 2/3 * b/a ) = 6a(2/3 * b/a ) - 2b
f ´´ ( 2/3 * b/a ) = 4b  - 2b
f ´´ ( 2/3 * b/a ) = 2b 
mit der Ausnhame von b = 0 ( zuvor bereits ausgeschlossen )
ist der Wert positiv oder negativ also ein Extrempunkt.

Alle Angaben ohne Gewähr.

Bin gern weiter behilflich.

mfg Georg

Comments

f ´´ ( 2/3 * b/a ) = 6a(2/3 * b/a ) - 2b
f ´´ ( 2/3 * b/a ) = 4b  - 2b
f ´´ ( 2/3 * b/a ) = 2b 

wie kommst du auf die 2/3 ?

und die lösung ist a oder b dürfen nicht Null sein? aber was ist mit x ? wenn x =0 ist gehts auch nicht auf

---

Stimmst du mit meinen Berechnungen bis hier überein
( siehe oben )
x = 0
x - 2/3 *b/a = 0
x = 2/3 * b/a

???

Dann werden die gefundenen x - Werte in die
2.Ableitung eingesetzt.
Ist diese 0 -> Wendepunkt
ist diese ≠ 0 dann Extremwert

f ´´ ( x ) = ?
f ´´ ( 2/3 * b/a ) = ?