Matrixmultiplikation: Berechnen Sie A^n für n∈N

Question

Aufgabe Matrixmultiplikation:

Gegeben seien die Matrizen

\( A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & -3 & -1 & -2 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad B=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \)

(a) Berechnen Sie \( (A+B)^{2} \) und \( A^{2}+2 A B+B^{2} \).

(b) Berechnen Sie \( A^{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).

(c) Berechnen Sie \( B^{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).

(d) Bestimmen Sie alle \( C \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \) mit \( C^{\top} C=0 \).

Answer 1

berechne mal A^2  also A * A
Das gibt    1111
                   0000
                  0000
                  -1-1-1-1
und A^3 gibt alles nur Nullen,
also auch alle weiteren
A^n für n>2 ist immer die Nullmatrix.

Bei B wirst du sehen es ist B*B*B = Einheitsmatrix
Dann ist also B^4 wieder gleich B,  B^5 = B^2 und B^6 wieder die Einheitsmatrix u.s.w.