Beweisen Sie den zweiten Teil von Bemerkung 1.81: Seien \( (\Omega, \mathcal{A}, \mu) \) ein Makraum, \( f, g \in \mathcal{T}^{+} \)und \( \alpha \geqslant 0 \). Dann liegen \( \alpha f, f+g, f \cdot g, \max \{f, g\} \) und \( \min \{f, g\} \) wieder in \( \mathcal{T}^{+} \)
1.80 Definition:
Sei \( (\Omega, \mathcal{A}, \mu) \) ein Maßraum. \( \mathcal{M} \) bezeichne den Raum aller \( \mathcal{A} \) messbaren numerischen Funktionen. Die Menge der nichtnegativen Funktionen aus \( \mathcal{M} \) wird mit \( \mathcal{M}^{+} \) bezeichnet.
\( \mathcal{T}:=\{f: \Omega \rightarrow \mathbb{R} ; f \mathcal{A}-\text { messbar, } f(\Omega) \text { endlich }\} \)
heißt Raum der Treppenfunktionen. Die Menge der nichtnegativen Funktionen aus \( \mathcal{T} \) wird mit \( \mathcal{T}^{+} \)bezeichnet. Ist \( f \in \mathcal{T}^{+} \)mit Wertebereich \( \left\{a_{1}, \ldots, a_{m}\right\} \subset \mathbb{R} \), dann gilt
\( f(x)=\sum \limits_{j=1}^{m} a_{j} \chi_{A_{j}}(x), \quad x \in \Omega \)
mit \( A_{j}=f^{-1}\left(\left\{a_{j}\right\}\right) \) und paarweise disjunkten \( A_{1}, \ldots, A_{m} \in \mathcal{A} . \) Eine Darstellung der Form (1-23) mit paarweise disjunkten \( A_{1}, \ldots, A_{m} \in \mathcal{A} \), sodass \( \bigcup_{j=1}^{m} A_{j}=\Omega \) heißt Normaldarstellung von \( f \in \mathcal{T}^{+} \)(bzw. dann heißt \( f \) einfache Funktion).
1.81 Bemerkung. \( \mathcal{M} \) und \( \mathcal{T} \) sind lineare Räume. Weiterhin implizieren \( f, g \in \mathcal{T}^{+} \) und \( \alpha \geq 0 \), dass auch \( \alpha f, f+g, f \cdot g, \max \{f, g\} \) und \( \min \{f, g\} \) wieder in \( \mathcal{T}^{+} \) liegen (Übung).
Wie kann man diese Eigenschaften zeigen? Soll ich f und g als Summe darstellen?
