Frage zu Untervektorräumen

Question

Es seien K ein Körper, M eine nichtleere Menge und m₀ ein Element aus M. Wir betrachten den K-Vektorraum Abb(M,K) der Abbildungen M --> K. Zeigen Sie, dass die Mengen...

U = { f ∈ Abb(M,K) | f(m₀) = 0}

V = { f ∈ Abb(M,K) | f ist konstantm d.h f(a) = f(b) für alle a,b ∈ M } ... Untervektorräume von Abb(M,K ) bilden.

Zeigen sie für diese Untervektorräume U und V:

U ∩ V = [0], U + V = Abb(M,K)

Insbesondere ist also φ: U ⊕V → Abb(M,K), (f , g) → f + g , ein Vektorraum-Isomorphismus.

Answer 1

U:  Du musst zeigen:
für alle f,g  aus U ist f+g aus U

seine f,g aus U, dann f(mo)=0 und g(mo)=0 dann auch (f+g)(mo)=f(m0)+g(m0)=0+0 = 0
also aus U

ebenso für alle a aus K :   für f asu U ist auch   a*f aus U
klar:   a*f(0) = a*0 = 0

V:  f,g konstant, also gibt es c aus K und d asu K mit  f(x)=c und g(x) = d für alle x aus M
dann gibt es auch ein   k aus K mit (f+g)(x) = k für alle x aus M,
man nehme k=c+d.

ebenso miit  a*f    dann nimm k=a*c

U geschnitten V ist nur 0, ist wohl klar:   wenn f(m0)=0 und das Ding ist konstant, dann ist
für alle x aus M   f(x)=0.