Gegeben ist der Differentialoperator \( \mathcal{L}[y](x)=x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y \)
(a) Lösen Sie mit dem Potenzreihenansatz die beiden AWPe
(i)
\( \mathcal{L}[y](x)=0, \quad y(1)=1, y^{\prime}(1)=1 \)
(ii)
\( \mathcal{L}[y](x)=0, \quad y(1)=1, y^{\prime}(1)=2 \)
(b) Formulieren Sie ein zu \( \mathcal{L}[y](x)=0 \) äquivalentes Differentialgleichungssystem erster Ordnung und geben Sie die Lösungen zu den (i) und (ii) entsprechenden AWPen an.
(c) Zeigen Sie, dass die Lösungen aus (b) linear unabhängig sind.