Lösen Sie mit dem Potenzreihenansatz die beiden AWPe

Question

Gegeben ist der Differentialoperator \( \mathcal{L}[y](x)=x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y \)

(a) Lösen Sie mit dem Potenzreihenansatz die beiden AWPe

(i)
\( \mathcal{L}[y](x)=0, \quad y(1)=1, y^{\prime}(1)=1 \)

(ii)
\( \mathcal{L}[y](x)=0, \quad y(1)=1, y^{\prime}(1)=2 \)

(b) Formulieren Sie ein zu \( \mathcal{L}[y](x)=0 \) äquivalentes Differentialgleichungssystem erster Ordnung und geben Sie die Lösungen zu den (i) und (ii) entsprechenden AWPen an.

(c) Zeigen Sie, dass die Lösungen aus (b) linear unabhängig sind.

Comments

Steht doch sogar da: Potenzreihenansatz.

Nehme an, \(y\) lasse sich als Potenzreihe schreiben, d.h. \(y(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_ny^n \). Dann \(y\) ableiten in die DGL einsetzen, Anfangswerte berücksichtigen, versuchen das ganze Zeug in eine Summe zu kriegen und auf der anderen Seite 0, d.h. sowas wie \(\sum_{k=...}^{\infty}\dots = 0\) und dann per Koeffizientenvergleich die Folge \(a_n\) bestimmen.

Answer 1

Hallo kann mir jemand bei der Aufgabe 1a,b) helfen, wie ich solche Aufgaben löse? Ich würde mir aus einer Musterlösung ein Rezept basteln aber das ist die einzige Aufgabe die ich dazu habe und Ich kriege nicht mal einen Ansatz hin, bin schon echt am verzweifeln. Vielen Danke für Hilfe

(Das war der Text vor der Änderung)

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Grosserloewe: Möchtest Du nicht meine Frage zu Deiner Antwort

https://www.mathelounge.de/851488/anfangswertproblem-stabiles-system#c1082788

beantworten?

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Hier habe ich auch eine Frage: Wenn die Anfangsbedingungen für x=1 gegeben sind, wie kann dann eine Potenzreihenentw. Um x=0 zum Etfolg führen?