Linken und Rechten Grenzwert berechnen

Question

Was ist der Unterschied zwischen linken und rechten Grenzwert (für x gegen -1) für folgende Funktion und wie berechnet man sie:

\( \dfrac{x^{3}-x^{2}-2 x}{x^{2}-1} \)

Comments

Du kannst den Term kürzen und dann den Grenzwert berechnen und musst Dir keine Gedanken über einseitige Grenzwerte machen.

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Danke, aber ich brauche trotzdem linke und  rechte Grenzwerte für diese Funktion

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Beide Grenzwerte existieren für x-> -1 und haben denselben Zahlenwert -> -1,5

von links nähert sich f(x) von kleineren Werten steigend gegen  gl = -1,5

von rechts nähert sich f(x) von grösseren Werten  fallend gegen  gr = -1,5

Nebenbei: ganz anders sieht die Sache mit den beiden Grenzwerten  bei x= +1 aus.

Answer 1

$$ x_0=(-1) $$

von links:

$$ \lim _{h\rightarrow 0} \, (x_o-h) $$

einsetzen in

$$ \frac {x^3-x^2-2x}{x^2 -1} $$

ergibt:

$$\lim _{h\rightarrow 0} \, \frac {(x_o-h) ^3-(x_o-h) ^2-2(x_o-h) }{(x_o-h) ^2 -1} $$

und ausmultiplizieren, aufräumen, kürzen, Grenzwert einsetzen - fertig

von rechts:

$$ \lim _{h\rightarrow 0} \, (x_o+h) $$

läuft genauso - nur auf die Vorzeichen aufpassen!

und das gleiche Spiel mit $$ x_0=(+1) $$
zur Übung und Spass an der Freude !