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Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z mit der Eigenschaft , dass

(1+z) / (1-z)

a) reell

b) imaginär ist

Bin folgendermaßen rangegangen:

z = x + iy

=> (1 + x + iy) / (1 - x - iy)   | * (1-x-iy)

=> -x² - (iy)² -2xiy +1 | (iy)² =i² + 2iy +y²

=>-x² +1 +1 -2iy -2xiy- y²

=> i * (2xy - 2y) -x² +2 -y²

Nun weiß ich nicht mehr weiter

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"

=> (1 + x + iy) / (1 - x - iy)   | * (1-x-iy)

"

deine Umformung ist bereits hier im ersten Schritt "verunglückt"


-> denn du solltest (um den Bruch in die Form a+bi zu bekommen) ->

mit dem konjugiert komplexen des Nenners -> also mit  -> (1-x) + i y erweitern

(.. damit der neue Nenner dann rein reell ist)

also nicht ->   * (1-x-iy)  sondern -> * (1-x + iy)


mach mal ->...

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erweiter ich den bruch dann mit (1-x) + iy bekomm ich folgendes raus

((1+x+iy) * (1-x+iy) ) / ((1-x-iy)*(1-x+iy)

=> ( 1-x+iy+x-x²+xiy+iy-xiy+(iy)² ) / (1-x+iy -x+x²-xiy -iy+xiy-(iy)² )

=> 1+2iy -x²+(iy)² / 1 -2x +x² -(iy)²

hab ich wieder etwas falsch gemacht?

"

hab ich wieder etwas falsch gemacht?

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.............. Nein .. nur noch nicht ganz fertig .. (zB: i ² = -1 verwenden) ->


[ (1+x)+ iy] / [ (1-x) - iy ]

damit der Nenner eine rein reelle Zahl c wird, musst du erweitern mit  [ (1-x) + iy ]

dann bekommst du c= [ (1-x) - iy ] * [ (1-x) +iy ] = (1-x) ² + y ²


und jetzt musst du nur noch den neuen Zähler  genauer anschauen ->

[ (1+x)+ iy]  * [ (1-x) + iy ] =  (1 - x ² - y ² )  + i * 2y

also ist

der Realteil von [(1+z) / (1-z)]    ->  RE[(1+z) / (1-z)] = 1/c * (1 - x ² - y ² )

und

der Imaginärteil  von [(1+z) / (1-z)] -> IM[(1+z) / (1-z)] = 1/c * 2y


und jetzt kannst du sofort die oben gestellten Fragen richtig beantworten


.

ach ja: pleindespoir denkt hoffentlich nochmal besser nach

oh sorry gar nicht gelesen das du geantwortet hast. Ich war jetzt total auf pleindespoirs beitrag fixiert. Vielen dank für die hilfe ich schau mir das jetzt nochmal an

Viel zu viel gedacht... danke hab alles verstanden!
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$$ \frac{1+z}{1-z}  $$
$$ \frac{(1+z)(1+z)}{(1-z)(1+z)}  $$
$$ \frac{(1+2z+z^2)}{(1-z^2)}  $$
$$ \frac{1+2(a+ib)+(a+ib)^2}{1-(a+ib)^2}  $$
$$ \frac{1+2a+2ib+a^2+2ib-b^2}{1-a^2-2ib+b^2}  $$
$$ \frac{1+2a+a^2-b^2+4ib}{1+b^2-a^2-2ib}  $$
$$ \frac{(1+a)^2-b^2+4ib}{1+b^2-a^2-2ib}  $$
$$ \frac{((1+a)^2-b^2+4ib)(1+b^2-a^2+2ib)}{(1+b^2-a^2-2ib)(1+b^2-a^2+2ib)}  $$
$$ \frac{((1+a)^2-b^2+4ib)(1+b^2-a^2+2ib)}{(1+b^2-a^2)^2-(2ib)^2}  $$
$$ \frac{((1+a)^2-b^2+4ib)(1+b^2-a^2+2ib)}{(1+b^2-a^2)^2+4b^2}  $$

jetzt "nur noch" ausmultiplizieren und nach Real- und Imaginärteil trennen ...

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Vielen dank für die schnelle Antwort!

Hab jedoch noch eine Frage zu deiner Umstellung von Zeile 4 zur 5.

Müsste da nicht -2aib stehen?

Sehr  gut erkannt !

Das habe ich versemmelt ...

... aber das Prinzip ist ja klar.


Möglicherweise vereinfacht das den folgenden Rattenschwanz etwas hoffe ich für Dich !

die variabeln im zähler sowie im nenner sind ausmultipliziert enorm lang und ich kann kaum was kürzen :D. Wie kann ich damit dann die Lösung finden?

Offensichtlich bin ich etwas müde und unkonzentriert.

Morgen früh so gegen 16h schaue ich nochmal rein ...

ich glaube ich hatte auch genug mathe für heute bin morgen dann auch wieder dabei. danke für die mühe!

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