Eigenschaft der komplexen Zahl z bestimmen

Question

Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z mit der Eigenschaft , dass

(1+z) / (1-z)

a) reell

b) imaginär ist

Bin folgendermaßen rangegangen:

z = x + iy

=> (1 + x + iy) / (1 - x - iy)   | * (1-x-iy)

=> -x² - (iy)² -2xiy +1 | (iy)² =i² + 2iy +y²

=>-x² +1 +1 -2iy -2xiy- y²

=> i * (2xy - 2y) -x² +2 -y²

Nun weiß ich nicht mehr weiter

Answer 1

"

=> (1 + x + iy) / (1 - x - iy)   | * (1-x-iy)

"

deine Umformung ist bereits hier im ersten Schritt "verunglückt"

-> denn du solltest (um den Bruch in die Form a+bi zu bekommen) ->

mit dem konjugiert komplexen des Nenners -> also mit  -> (1-x) + i y erweitern

(.. damit der neue Nenner dann rein reell ist)

also nicht ->   * (1-x-iy)  sondern -> * (1-x + iy)

mach mal ->...

Comments

erweiter ich den bruch dann mit (1-x) + iy bekomm ich folgendes raus

((1+x+iy) * (1-x+iy) ) / ((1-x-iy)*(1-x+iy)

=> ( 1-x+iy+x-x²+xiy+iy-xiy+(iy)² ) / (1-x+iy -x+x²-xiy -iy+xiy-(iy)² )

=> 1+2iy -x²+(iy)² / 1 -2x +x² -(iy)²

hab ich wieder etwas falsch gemacht?

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"

hab ich wieder etwas falsch gemacht?

"

.............. Nein .. nur noch nicht ganz fertig .. (zB: i ² = -1 verwenden) ->

[ (1+x)+ iy] / [ (1-x) - iy ]

damit der Nenner eine rein reelle Zahl c wird, musst du erweitern mit  [ (1-x) + iy ]

dann bekommst du c= [ (1-x) - iy ] * [ (1-x) +iy ] = (1-x) ² + y ²

und jetzt musst du nur noch den neuen Zähler  genauer anschauen ->

[ (1+x)+ iy]  * [ (1-x) + iy ] =  (1 - x ² - y ² )  + i * 2y

also ist

der Realteil von [(1+z) / (1-z)]    ->  RE[(1+z) / (1-z)] = 1/c * (1 - x ² - y ² )

und

der Imaginärteil  von [(1+z) / (1-z)] -> IM[(1+z) / (1-z)] = 1/c * 2y

und jetzt kannst du sofort die oben gestellten Fragen richtig beantworten

.

ach ja: pleindespoir denkt hoffentlich nochmal besser nach

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oh sorry gar nicht gelesen das du geantwortet hast. Ich war jetzt total auf pleindespoirs beitrag fixiert. Vielen dank für die hilfe ich schau mir das jetzt nochmal an

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Viel zu viel gedacht... danke hab alles verstanden!

Answer 2

$$ \frac{1+z}{1-z}  $$
$$ \frac{(1+z)(1+z)}{(1-z)(1+z)}  $$
$$ \frac{(1+2z+z^2)}{(1-z^2)}  $$
$$ \frac{1+2(a+ib)+(a+ib)^2}{1-(a+ib)^2}  $$
$$ \frac{1+2a+2ib+a^2+2ib-b^2}{1-a^2-2ib+b^2}  $$
$$ \frac{1+2a+a^2-b^2+4ib}{1+b^2-a^2-2ib}  $$
$$ \frac{(1+a)^2-b^2+4ib}{1+b^2-a^2-2ib}  $$
$$ \frac{((1+a)^2-b^2+4ib)(1+b^2-a^2+2ib)}{(1+b^2-a^2-2ib)(1+b^2-a^2+2ib)}  $$
$$ \frac{((1+a)^2-b^2+4ib)(1+b^2-a^2+2ib)}{(1+b^2-a^2)^2-(2ib)^2}  $$
$$ \frac{((1+a)^2-b^2+4ib)(1+b^2-a^2+2ib)}{(1+b^2-a^2)^2+4b^2}  $$

jetzt "nur noch" ausmultiplizieren und nach Real- und Imaginärteil trennen ...

Comments

Vielen dank für die schnelle Antwort!

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Hab jedoch noch eine Frage zu deiner Umstellung von Zeile 4 zur 5.

Müsste da nicht -2aib stehen?

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Sehr  gut erkannt !

Das habe ich versemmelt ...

... aber das Prinzip ist ja klar.

Möglicherweise vereinfacht das den folgenden Rattenschwanz etwas hoffe ich für Dich !

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die variabeln im zähler sowie im nenner sind ausmultipliziert enorm lang und ich kann kaum was kürzen :D. Wie kann ich damit dann die Lösung finden?

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Offensichtlich bin ich etwas müde und unkonzentriert.

Morgen früh so gegen 16h schaue ich nochmal rein ...

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ich glaube ich hatte auch genug mathe für heute bin morgen dann auch wieder dabei. danke für die mühe!