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Berechnen Sie, welche reellen Zahlen \( x \) die Ungleichung

\( \frac{|x-3|}{x+1}<2 x-1 \)

erfüllen.

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Der betrag von x+3 hängt davon ab, ob x+3 positiv oder negativ ist
also ob  x>3  oder  x<3

1. Fall  x >= 3  dann kannst du den Betrag weglassen und mit dem Nenner multiplizieren,
dann hast du

x-3   <  (2x-1)*(x+1)
x-3  <  2x^2 - x + 2x - 1
0   <   2x^2   + 2
Nun ist aber  2x^2 + 2 immer größer als 0
also sind im Fall   x>=3 alle x-Werte Lösungen der Ungleichung.

2. Fall  x<3   dann wird der Betrag zu  -x+3 
und wenn du jetzt mit (x+1) multiplizieren willst, gibt es
wieder 2 Fälle: entweder das ist positiv dann kannst du
einfach multiplizieren oder es ist negativ, dann musst du das Zeichen < in > ändern.

also betrachten wir erst mal

Fall 2a:    x<3  und  x>-1
dann hast du    -x+3   <  (2x-1)*(x+1)
                    -x+3  <  2x^2 - x + 2x - 1
                    0 <  2x^2  + 2x  - 4   |  :2
                     0  <  x^2   +  x   -  2
                      0  <  ( x-1) (x+2)   und das Produkt ist positiv wenn
enweder beide Faktoren positiv oder beide Faktoren negativ sind
 ( x-1 > 0  und x+2 > 0   )   oder (  x-1  < 0    und   x+2  <  0 )
( x > 1  und x > -2   )   oder (  x  < 1    und   x <  -2)
Das muss man sich jetzt erst mal vorstellen ( x > 1  und x > -2   )
heißt doch einfach nur  x>1
und das andere  x<-2

also   x>1   oder   x<-2 
und außerdem gilt das alles ja nur für Fall 2a:    x<3  und  x>-1
also haben wir:     x aus [1 ; 3]    denn x<-2 kann ja für x>-1 nicht sein

Fall 2a:    x<3  und  x<-1   also einfach nur  x<-1
dann wird aus der Ungleichung wegen Umdrehen des < Zeichens
              -x+3  <  2x^2 - x + 2x - 1
wie oben kommst du auf      0  <  ( x-1) (x+2) 
hier soll nun das Produkt negativ sein, also
 ( x-1 > 0  und x+2 < 0   )   oder (  x-1  < 0    und   x+2  >  0 )
( x > 1  und x < -2   )   oder (  x  < 1    und   x >  -2)
nun wieder schauen:
( x > 1  und x < -2   )  geht gar nicht
(  x  < 1    und   x >  -2) sind alle von -2 bis 1 also  ]-2 ; 1 ]

alle drei Fälle zusammen ergeben Lösungen für
alle x mit  x >= 3     dazu     x aus [1 ; 3]     und noch x aus   ]-2 ; 1 ]

Lösungsmenge also  alle x, die größer als -2 sind.

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Danke erstmal' aber warum ist bei Fall 2a aus [1,3] und nicht [ 0,3]

also   x>1   oder   x<-2 
und außerdem gilt das alles ja nur für Fall 2a:    x<3  und  x>-1

Ergebnis war x>1   oder   x<-2

also alles was links von -2 oder aber rechts von 1 auf der Zahlengeraden liegt.

wegen x>-1 kommen die Linken nicht infrage.

und von den Rechten   (also rechts von 1) nur die mit x<3


also haben wir:     x aus [1 ; 3]

Der Bereich von o bis 1 tut es nicht, wegen also   x>1   oder   x<-2

Aber muss es dann nicht heißen x aus [1,2] weil x <3 sein soll

Bzw. nur 2 weil wenns 1 wäre wäre ein Faktor 0  wegen x-1

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