Es gibt keine reellen Zahlen die die Ungleichung erfüllen. 1/(x+y) = 1/x + 1/y

Question

Wie löst man die folgende  Aufgabe? Bin für jeden Lösungsweg dankbar

Comments

Das ist doch exakt dieselbe Aufgabe, wie der erste Treffer unter aehnliche Fragen unten. Gefaellt Dir an der Lösung da was nicht?

https://www.mathelounge.de/342783/es-gibt-keine-reellen-zahlen-x-y-fur-die-1-x-y-1-x-1-y

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Hallo ia2266,

Der Fragesteller hat erst Einsicht in " der erste Treffer unter aehnliche Fragen unten "
nachdem er die Frage gestellt hat.
Er konnte also " ähnliche Fragen " noch nicht kennen.

Answer 1

vielleicht kannst du es so leichter einsehen:

Das ganze kann ja nicht klappen wenn x=0 oder y=0,

weil die im Nenner stehen.

1/(x+y)= 1/x +1/y         |*xy

(xy)/(x+y)=y+x              | * ( x+y)

xy = (x+y)^2    also muss  xy ≥ 0 sein, da Quadrate nie negativ.   #

weiter umgeformt gibt es

xy = x^2 + 2xy + y^2

-xy = x^2 + y^2

rechts steht die Summe zweier Quadrate, also muss

- xy ≥ 0 sein.    ##

# und ## bedeuten aber zusammen  xy = 0

im Widerspruch zur Voraussetzung: beide ungleich 0.

Answer 2

Hi

1/(x+y)= 1/x +1/y         |*xy

(xy)/(x+y)=y+x              |-x-y

(xy)/(x+y) -x-y=0

(xy)/(x+y) -(x+y)=0

(xy)/(x+y) -(x+y)*(x+y)/(x+y)=0

(xy-(x+y)²)/(x+y)=0

(xy-x²-2xy-y²)/(x+y)=0

(-x²-xy-y²)/(x+y)=0

Damit die Gleichung erfüllt wird muss der Zähler Null sein. Dies geht aber nur wenn x=y=0 Damit wäre dann aber der Nenner 0 was nicht möglich ist

Comments

Hallo Frontliner,

Vorausetzung : x ≠ 0 , y ≠ 0

(xy)/(x+y)=y+x 

xy = ( x + y ) * ( x + y )
xy = x^2 + 2xy + y^2
x^2 + xy + y^2 = 0  | pq-Formel oder quadr.Ergänzung
x^2 + xy + (1/2*y)^2 = - y^2 + 1/4 * y^2
( x + 1/2*y)^2 = - 3/4 * y^2

Auf der rechten Seite kann im reellen Zahlenbereich keine Wurzel
gezogen werden oder der Quadratterm auf der linken Seite ist
stets positv.

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Hi Georg!

Laufen unsere Lösungswege nicht auf das selbe hinaus? Deine Lösung ist zwar noch offensichtlicher aber bei mir stimmt es doch dass

-(x²+xy+y²) nur für x=y=0 gleich 0 ist was aber ein Widerspruch ist da die Voraussetzung

x≠0

y≠0  gilt

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Hallo georgborn, hallo Frontliner,

Vielen Dank für eure Antworten, aber ich verstehe folgendes nicht:

x² + xy + (1/2*y)² = - y² + 1/4 * y² 

( x + 1/2*y)² = - 3/4 * y^{2Könntest du mir das bitte ausführlicher erklären ?}

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Hallo Frontliner,
mein Kommentar sollte keine Korrektur oder Fehlerhinweis sein
sondern dir, wie vereinbart, eine kürzere Form eines Nachweises aufzeigen.
Ich schreibe das, zur Vermeidung von Mißverständnissen,
demnächst über solche Kommentare.

@Fragesteller

Vielen Dank für eure Antworten, aber ich verstehe folgendes nicht:

x² + xy + (1/2*y)² = - y² + 1/4 * y²
( x + 1/2*y)² = - 3/4 * y²
Könntest du mir das bitte ausführlicher erklären ?


Es wird ausgenutzt das eine binomische Formel vorliegt

x² + xy = - y²   | + (1/2*y)^2  als quadratische Ergänzung

x² + xy + (1/2*y)² = - 1 * y² + 1/4 * y²

( x + 1/2*y)² = - 3/4 * y²

Alternativ kann auch die pq-Formel angewendet werden.

mfg Georg