Question

Es gibt keine reellen Zahlen x,y für die 1/(x+y) = 1/x + 1/y gilt. 

Mein beweis:

1/(x+y) = 1/x + 1/y

umgeformt:

x² + y² = -(xy)

x² > 0 und y² > 0, es folgt x² + y² > 0

Weiter folgt: -(xy) > 0

x > 0 und y > 0

hinreichend ist x² > 0 und y² > 0

Umformung: -(xy) > 0

xy < 0

(x < 0, y < 0) --> Widerspruch

x < 0 und y > 0

hinreichend ist x² > 0 und y² > 0

Umformung: -(xy) > 0

xy < 0

x < 0 , (y < 0) --> Widerspruch

x > 0 und y < 0

hinreichend ist x² > 0 und y² > 0

Umformung: -(xy) > 0

xy < 0

y < 0, (x < 0)--> Widerspruch

Für den Fall x < 0 und y < 0 (hinreichend ist x² > 0 und y² > 0)

Umformung: -(xy) > 0

xy < 0

x < 0, y < 0 --> wahre Aussage

x² + y² = -(xy)

umgeformt:

x/y + y/x = -1

x < 0, y < 0 folgt: x/y > 0 und y/x > 0

Weiter folgt x/y + y/x > 0 , -1 < 0

So dass -1 < 0 < x/y + y/x

Es ist -1 < x/y + y/x

Widerspruch, dass -1 = x/y + y/x ist.

Meine Frage ist das richtig / falsch und wie soll ich am Schluss aussagen dass es keine reellen Zahlen gibt für die

1/(x+y) = 1/x + 1/y

ist?

Comments

Einfacher vielleicht: \(x^2+xy+y^2=0\Leftrightarrow\left(x+\frac12y\right)^{\!2}+\frac34y^2=0\Leftrightarrow x=y=0\).

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Man sollte noch sagen, dass \( x,y \ne 0 \) vorausgesetzt sein muss und es deshalb ein Widerspruch ist.

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Nach eine Umforumg zum Kommentar Gast / 25.April
( x + 1/2*y)² = - 3/4 * y²

Auf der rechten Seite kann im reellen Zahlenbereich keine Wurzel
gezogen werden oder der Quadratterm auf der linken Seite ist
stets positv.