Der betrag von x+3 hängt davon ab, ob x+3 positiv oder negativ ist
also ob x>3 oder x<3
1. Fall x >= 3 dann kannst du den Betrag weglassen und mit dem Nenner multiplizieren,
dann hast du
x-3 < (2x-1)*(x+1)
x-3 < 2x^2 - x + 2x - 1
0 < 2x^2 + 2
Nun ist aber 2x^2 + 2 immer größer als 0
also sind im Fall x>=3 alle x-Werte Lösungen der Ungleichung.
2. Fall x<3 dann wird der Betrag zu -x+3
und wenn du jetzt mit (x+1) multiplizieren willst, gibt es
wieder 2 Fälle: entweder das ist positiv dann kannst du
einfach multiplizieren oder es ist negativ, dann musst du das Zeichen < in > ändern.
also betrachten wir erst mal
Fall 2a: x<3 und x>-1
dann hast du -x+3 < (2x-1)*(x+1)
-x+3 < 2x^2 - x + 2x - 1
0 < 2x^2 + 2x - 4 | :2
0 < x^2 + x - 2
0 < ( x-1) (x+2) und das Produkt ist positiv wenn
enweder beide Faktoren positiv oder beide Faktoren negativ sind
( x-1 > 0 und x+2 > 0 ) oder ( x-1 < 0 und x+2 < 0 )
( x > 1 und x > -2 ) oder ( x < 1 und x < -2)
Das muss man sich jetzt erst mal vorstellen ( x > 1 und x > -2 )
heißt doch einfach nur x>1
und das andere x<-2
also x>1 oder x<-2
und außerdem gilt das alles ja nur für Fall 2a: x<3 und x>-1
also haben wir: x aus [1 ; 3] denn x<-2 kann ja für x>-1 nicht sein
Fall 2a: x<3 und x<-1 also einfach nur x<-1
dann wird aus der Ungleichung wegen Umdrehen des < Zeichens
-x+3 < 2x^2 - x + 2x - 1
wie oben kommst du auf 0 < ( x-1) (x+2)
hier soll nun das Produkt negativ sein, also
( x-1 > 0 und x+2 < 0 ) oder ( x-1 < 0 und x+2 > 0 )
( x > 1 und x < -2 ) oder ( x < 1 und x > -2)
nun wieder schauen:
( x > 1 und x < -2 ) geht gar nicht
( x < 1 und x > -2) sind alle von -2 bis 1 also ]-2 ; 1 ]
alle drei Fälle zusammen ergeben Lösungen für
alle x mit x >= 3 dazu x aus [1 ; 3] und noch x aus ]-2 ; 1 ]
Lösungsmenge also alle x, die größer als -2 sind.
