a) Gegeben sind x1 , x2 und x3 ∈ℝ2 mit
x1= ⌈1 ;1⌉ x2= ⌈-1 ; 1⌉ und x3= ⌈2 ; 3⌉ .
(i) Zeigen sie , dass E =⟨x1,x2 , x3⟩ ein Erzeugendensystem des Vektorraumes ℝ2ist, aber keine Basis.
sind Erzeugendensystem des Vektorraumes ℝ2 :
Seien ⌈a ;b⌉ ∈ℝ2 dann ist 0,5(a+b)*x1 + o,5*(a-b)*x2 + 0*x3 = ⌈a ;b⌉
und wegen 2,5*x1 + (-o,5)*x2 = x3 sind sie lin. abh. also keine Basis
(ii) Verkleinern Sie E so, dass eine Basis B des ℝ2 entsteht. Nachweis!
Lass den letzten weg, dann ist mit der gl. Überlegung wie bei (i) es immer noch
ein Erz.syst. und die 2 sind l.u.
(iii) Geben Sie mit Hilfe des Erzeugendensystems E = ⟨x1 , x2 , x3⟩ drei verschiedene Linearkombinationen für ⌈5 ; 8⌉ ∈ ℝ2 an. sieh (i) mit a=5 und b= 8 dann hast du schon mal eine
wähle dann z.B. vor dem 3. Vektor statt 0 eine andere Zahl, etwa 1und rechne
bei u*x1 + v*x2 + 1*x3 = ⌈5 ;8⌉ das u und das v aus
und dann noch mal mit 2 statt 1.
(iv) Stellen Sie ⌈5 ; 8⌉ ∈ ℝ2 mit Hilfe ihrer Basis B dar.
b) Untersuchen Sie, ob die folgenden Erzeugendensysteme eine Basis des ℝ3 bilden:
drei Vektoren von ℝ3 bilden immer ein Ez.syst von ℝ3 wenn sie lin.unabh. sind.
also machst du den Ansatz
a* ⌈ 0 ; 1; 2⌉ +b* ⌈1 ; 2; 0⌉ + c*⌈2 ; 0 ; 1⌉ = ⌈0 ; 0 ; 0⌉
wenn a=0 und b=0 und c=0 die EINZIGE Lösung ist, sind sie lin.unabh. sonst nicht.
(i) E1 = ⟨ ⌈ 0 ; 1; 2⌉ ; ⌈1 ; 2; 0⌉ ; ⌈2 ; 0 ; 1⌉⟩
(ii) E
2= ⟨ ⌈ -1 ; 1; 3⌉ ; ⌈ 0 ; -2 ; 0⌉ ; ⌈3 ; -1 ; 2⌉⟩ siehe (i)